依分布收敛的定义细节

1 定义

依分布收敛的定义是这样的：随机变量序列{Xn}n=1∞\{X_n\}_{n=1}^{\infty}{Xn}n=1∞，若它们的累积分布函数cdf序列{Fn}n=1∞\{F_n\}_{n=1}^{\infty}{Fn}n=1∞，与某个随机变量XXX的cdf FFF，满足
lim⁡n→∞Fn(x)=F(x)\lim_{n\to\infty} F_n(x)=F(x) n→∞limFn(x)=F(x)
在任意F(x)F(x)F(x)的连续点xxx处都成立。则称它们依分布收敛到随机变量XXX，记为Xn⟶DXX_n\stackrel{D}\longrightarrow XXn⟶DX。

在这个定义中，有两个极易忽视但又重要的点，一是必须要对应到某个随机变量的cdf，而不是任意一个函数，二是只要求在F(x)F(x)F(x)的连续点处条件成立即可。

接下来，我们分析为何要如此定义。

2 极限函数必须是cdf

考虑Xn∼N(0,σn2)X_n\sim N(0,\sigma_n^2)Xn∼N(0,σn2)，σn→+∞\sigma_n\to +\inftyσn→+∞，我们有
Fn(x)=P(xnσn≤xσn)=Φ(xσn)F_n(x)=P(\dfrac{x_n}{\sigma_n}\leq \dfrac{x}{\sigma_n})=\Phi(\dfrac{x}{\sigma_n}) Fn(x)=P(σnxn≤σnx)=Φ(σnx)
在任一点xxx处，都有Φ(xσn)→Φ(0)=12\Phi(\dfrac{x}{\sigma_n})\to\Phi(0)=\dfrac{1}{2}Φ(σnx)→Φ(0)=21，因此，可设F(x)=12F(x)=\dfrac{1}{2}F(x)=21，就满足定义中的极限条件。但此时，F(x)F(x)F(x)不是任何随机变量的cdf，因为随机变量的cdf需要满足lim⁡x→−∞F(x)=0\lim\limits_{x\to -\infty}F(x)=0x→−∞limF(x)=0以及lim⁡x→∞F(x)=1\lim\limits_{x\to \infty}F(x)=1x→∞limF(x)=1。

这一点如何修正？我们只需让序列{Xn}n=1∞\{X_n\}_{n=1}^{\infty}{Xn}n=1∞是依概率有界即可。而在定义中，就要求cdf函数列的极限形式，一定要对应到某个随机变量的cdf。

3 只考虑连续点

回忆cdf的另一个性质：右连续，即F(x)=F(x+)F(x)=F(x+)F(x)=F(x+)。但在依分布收敛的情形中，很可能会出现不满足的情况，如Xn=X+1nX_n=X+\dfrac1 nXn=X+n1，易知
Fn(x)=P(Xn≤x)=P(X≤x−1n)=F(x−1n)F_n(x)=P(X_n\leq x)=P(X\leq x-\dfrac 1 n)=F(x-\dfrac{1}{n}) Fn(x)=P(Xn≤x)=P(X≤x−n1)=F(x−n1)

若n→∞n\to\inftyn→∞，则Fn(x)→F(x−)F_n(x)\to F(x-)Fn(x)→F(x−)。若FFF在xxx处不满足左连续，那么不能满足Fn(x)→F(x)F_n(x)\to F(x)Fn(x)→F(x)，因此在定义中，需将FFF的不连续点排除。

举个具体的例子，如Xn∼U(0,1/n)X_n\sim U_{(0,1/n)}Xn∼U(0,1/n)，则XnX_nXn在极限时的分布会退化为X=1X=1X=1，而Fn(0)=0F_n(0)=0Fn(0)=0恒成立，但F(0)=1F(0)=1F(0)=1，因此对于x=0x=0x=0无法满足Fn(x)→F(x)F_n(x)\to F(x)Fn(x)→F(x)，但x=0x=0x=0是F(x)F(x)F(x)的不连续点，因此可以剔除。所以还是认为Xn⟶DXX_n\stackrel{D}\longrightarrow XXn⟶DX。