传输线典型的终端条件

终端加载的无损耗传输线的输入方程

终端短路的传输线

终端开路的传输线

终端加载的无损耗传输线的输入方程

在距离负载d处，输入阻抗由以下表达式给出

$Z_{\mathrm{in}}(d)=\frac{V(d)}{I(d)}=Z_{0} \frac{V^{+} e^{j \beta d}\left(1+\Gamma_{0} e^{-2 j \beta d}\right)}{V^{+} e^{j \beta d}\left(1-\Gamma_{0} e^{-2 j \beta d}\right)}$

由于已经定义 $\Gamma(d)=\Gamma_{0} e^{-2j\beta d}$ (参看驻波与电压驻波比推导)

上式可以写成

$Z_{\text {in }}(d)=Z_{0} \frac{1+\Gamma(d)}{1-\Gamma(d)}$

由于

$\Gamma_{0}=\frac{Z_{L}-Z_{0}}{Z_{L}+Z_{0}}$

阻抗表达式可以写成

$\begin{aligned} Z_{\mathrm{in}}(d)=& \frac{e^{j \beta d}+\left(\frac{Z_{L}-Z_{0}}{Z_{L}+Z_{0}}\right) e^{-j \beta d}}{e^{j \beta d}-\left(\frac{Z_{L}-Z_{0}}{Z_{L}+Z_{0}}\right) e^{-j \beta d}} Z_{0} \\=& \frac{Z_{L}\left(e^{j \beta d}+e^{-j \beta d}\right) +Z_{0}\left(e^{j \beta d}-e^{-j \beta d}\right) }{Z_{L}\left(e^{j \beta d}-e^{-j \beta d}\right)+Z_{0}\left(e^{j \beta d}+e^{-j \beta d}\right)} Z_{0} \\=& \frac{Z_{L} \cos (\beta d)+j Z_{0} \sin (\beta d)}{Z_{0} \cos (\beta d)+j Z_{L} \sin (\beta d)} Z_{0} \end{aligned}$

可整理为

$Z_{\text {in }}(d)=Z_{0} \frac{Z_{L}+j Z_{0} \tan (\beta d)}{Z_{0}+j Z_{L} \tan (\beta d)}$

其中 $\beta$ 为相位常数， $\beta=2\pi/\lambda$ 。

终端短路的传输线

如果 $Z_{L}=0$ ,阻抗表达式可写成

$Z_{in}(d)=jZ_{0}tan(\beta d)$

短路条件下( $\Gamma_{0}=0$ )终端的电压波

$V(d)=V^{+}\left(e^{+j\beta d}-e^{-j\beta d}\right)=2jV^+sin(\beta d)$

电流波

$I(d)=\frac{V^{+}}{Z_{0}}\left(e^{+j\beta d}+e^{-j\beta d}\right)=\frac{2V^+}{Z_{0}}cos(\beta d)$

阻抗也可以表示为

$Z_{in}(d)=\frac{V(d)}{I(d)}$

电压电流和阻抗与传输线长度关系如下图

上图可以看出，随着负载与测量点之间距离的增加，阻抗呈现周期性变化。

由于测量不同位置阻抗较为麻烦，通常会选定传输线上一点，扫频测量输入阻抗与频率的关系。

假设有一长度 $l=10cm$ 的传输线，扫频范围是 $1\sim 4GHz$ 。传输线参数为 $L=209.4nH/m,C=119.5pF/m$ 。传输线的输入阻抗 $Z_{in}(d=l)$ 作为频率的函数，可表示为

$Z_{\text {in }}(d=l)=j Z_{0} \tan (\beta l)=j Z_{0} \tan \left(\frac{2 \pi f}{v_{p}} l\right)$

终端开路的传输线

如果 $Z_{L}=\infty$ ,输入阻抗可简化为

$Z_{in}(d)=-jZ_{0}\frac{1}{tan(\beta d)}$

开路条件下( $\Gamma_{0}=+1$ )电压波为

$V(d)=V^{+}\left[e^{+\mathrm{j} \beta d}+e^{-j \beta d}\right]=2 V^{+} \cos (\beta d)$

电流波为

$I(d)=\frac{V^{+}}{Z_{0}}\left[e^{+\mathrm{j} \beta d}-e^{-j \beta d}\right]=\frac{2 j V^{+}}{Z_{0}} \sin (\beta d)$

阻抗也可以表示为

$Z_{in}(d)=\frac{V(d)}{I(d)}$

电压电流和阻抗与传输线长度关系如下图

保持传输线长度不变，在特定的区域内扫频

同短路条件下例子参数，这里的输入阻抗表达式变为

$Z_{\text {in }}(d=l)=-j Z_{0} \cot (\beta l)=-j Z_{0} \cot \left(\frac{2 \pi f}{v_{p}} l\right)$

图像如下