一、什么是哈夫曼树？

让我们先举一个例子。

判定树：

在很多问题的处理过程中，需要进行大量的条件判断，这些判断结构的设计直接影响着程序的执行效率。例如，编制一个程序，将百分制转换成五个等级输出。大家可能认为这个程序很简单，并且很快就可以用下列形式编写出来：

if(score<60)

cout<

else if(score<70)

cout<

else if(score<80)

cout<

else if(score<90)

cout<

else

cout<

若考虑上述程序所耗费的时间，就会发现该程序的缺陷。在实际中，学生成绩在五个等级上的分布是不均匀的。当学生百分制成绩的录入量很大时，上述判定过程需要反复调用，此时程序的执行效率将成为一个严重问题。

但在实际应用中，往往各个分数段的分布并不是均匀的。下面就是在一次考试中某门课程的各分数段的分布情况：

下面我们就利用哈夫曼树寻找一棵最佳判定树，即总的比较次数最少的判定树。

第一种构造方式：

第二种构造方式：

这两种方式，显然后者的判定过程的效率要比前者高。在也没有别地判定过程比第二种方式的效率更高。

哈夫曼编码应用广泛，如JPEG中就应用了哈夫曼编码。哈夫曼树又称最优二叉树，是一种带权路径长度最短的二叉树。

二、基本概念

1、路径： 树中一个结点到另一个结点之间的分支构成这两个结点之间的路径。

2、路径长度：路径上的分枝数目称作路径长度。

3、树的路径长度：从树根到每一个结点的路径长度之和。

4、结点的带权路径长度：在一棵树中，如果其结点上附带有一个权值，通常把该结点的路径长度与该结点上的权值之积称为该结点的带权路径长度(weighted path length)

5、权值

权值就是定义的路径上面的值。可以这样理解为节点间的距离。通常指字符对应的二进制编码出现的概率。至于霍夫曼树中的权值可以理解为：权值大表明出现概率大！

一个结点的权值实际上就是这个结点子树在整个树中所占的比例.

abcd四个叶子结点的权值为7,5,2,4. 这个7,5,2,4是根据实际情况得到的,比如说从一段文本中统计出abcd四个字母出现的次数分别为7,5,2,4. 说a结点的权值为7,意思是说a结点在系统中占有7这个份量.实际上也可以化为百分比来表示,但反而麻烦,实际上是一样的.

6、树的带权路径长度：如果树中每个叶子上都带有一个权值，则把树中所有叶子的带权路径长度之和称为树的带 权路径长度。

三、哈夫曼树的构造

1，将所有左，右子树都为空的作为根节点。

2，在森林中选出两棵根节点的权值最小的树作为一棵新树的左，右子树，且置新树的附加根节点的权值为其左，右子树上根节点的权值之和。注意，左子树的权值应小于右子树的权值。

3，从森林中删除这两棵树，同时把新树加入到森林中。

4，重复2，3步骤，直到森林中只有一棵树为止，此树便是哈夫曼树。

简易的理解就是，假如我有A,B,C,D,E五个字符，出现的频率(即权值)分别为5,4,3,2,1,那么我们第一步先取两个最小权值作为左右子树构造一个新树，即取1，2构成新树，其结点为1+2=3，如图：

虚线为新生成的结点，第二步再把新生成的权值为3的结点放到剩下的集合中，所以集合变成{5,4,3,3}，再根据第二步，取最小的两个权值构成新树，如图：

再依次建立哈夫曼树，如下图：

其中各个权值替换对应的字符即为下图：

所以各字符对应的编码为：A->11,B->10,C->00,D->011,E->010

霍夫曼编码是一种无前缀编码。解码时不会混淆。其主要应用在数据压缩，加密解密等场合。

四、哈夫曼编码

对于给定的字符集D={d1,d2,...,dn}及其频率分布F={w1,w2,...,wn}，用d1,d2,...,dn作为叶结点，w1,w2,...,wn作为结点的权，利用哈夫曼算法构造一棵最优二叉树，将树中每个分支结点的左分支标上"0"；右分支标上"1"，把从根到每个叶子的路径符号("0"或"1")连接起来，作为该叶子的编码。