深度学习/机器学习入门基础数学知识整理(八):中心极限定理,一元和多元高斯分布
文章目录
- 中心极限定理
- 中心极限定理的简单应用
- 高斯分布
- 一元高斯分布
- 多元高斯分布
- 多元高斯分布的的线性变换
- 两个高斯分布的KL散度
- 参考资料
中心极限定理
设随机变量X1,X2,…Xn,独立同分布,并且具有有限的数学期望和方差:E(Xi)=μE(X_i)=\muE(Xi)=μ,D(Xi)=σ2D(X_i)=\sigma^2D(Xi)=σ2,则对任意实数x,分布函数
满足
该定理说明,当n很大时,随机变量
近似地服从标准正态分布N(0,1)。因此,当n很大时,
近似地服从正态分布N(nμ,nσ2)N(nμ,nσ2)N(nμ,nσ2).该定理是中心极限定理最简单又最常用的一种形式,在实际工作中,只要n足够大,便可以把独立同分布的随机变量之和当作正态变量。这种方法在数理统计中用得很普遍,当处理大样本时,它是重要工具。
中心极限定理的简单应用
参考资料[1]
高斯分布
高斯分布Gaussian distribution,也叫正太分布Normal distribution,是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布,在统计学的许多方面有着重大的影响力。
一元高斯分布
若随机变量符合一元高斯分布X∼N(μ,σ2)X\sim N(\mu,\sigma^2)X∼N(μ,σ2),则有如下的概率密度函数
满足
而如果我们对随机变量XXX进行标准化Z=X−μσZ = \frac{X-\mu}{\sigma }Z=σX−μ, 那么变量ZZZ服从0均值,1方程的一元标准高斯分布。
多元高斯分布
多维高斯分布的公式:
其中x=(x1,x2,...,xn)x=(x_1,x_2,...,x_n)x=(x1,x2,...,xn)为一个n维向量,μ\muμ是均值向量,∑\sum∑是协方差矩阵。
多元高斯分布的的线性变换
两个高斯分布的KL散度
参考资料[5]
两个一元(一维)高斯分布的KL散度KL(p1∣∣p2)KL(p_1||p_2)KL(p1∣∣p2):
两个多维高斯分布的KL散度KL(p1∣∣p2)KL(p_1||p_2)KL(p1∣∣p2):
这个在VAE算法中会用到,记录一下,如果看VAE的时候可以查阅。
参考资料
[1] 中心极限定理,百度百科
[2] https://zhuanlan.zhihu.com/p/38501770
[3] https://zhuanlan.zhihu.com/p/58987388
[4] https://zhuanlan.zhihu.com/p/90272131
[5] VAE(1)——从KL说起
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