《数学之美》第六章——信息的度量和作用

1 信息熵

一条信息的信息量与其不确定性有着直接的关系。
如何一件事情非常不确定，我们要搞清楚就需要了解大量的信息。如果一件事情了解较多，则只需要少量信息就可以搞清楚。
可以认为，信息量就等于不确定性的多少。

下面举一个例子来解释信息量如何进行度量：

但是对于冠军球队的猜测其实信息量可能是更少的，因为每支球队的夺冠概率不一样。因此我们可以先在概率高的球队中进行猜测。

香农指出，它的准确信息量应该是：

其中，p1,p2,…,p32分别是这32支球队夺冠的概率。香农把它称为“信息熵”，一般用符号H表示，单位是比特。

因此，对于任意一个随机变量X，它的熵定义如下：

变量的不确定性越大，熵就越大，要把它搞清楚，所需信息量也就越大。

2 信息的作用

信息和消除不确定性是相联系的。
信息是消除系统不确定性的唯一办法（在没有获得任何信息前，一个系统就像是一个黑盒子，引入信息，就可以了解黑盒子系统的内部结构）。如下图所示：

一个事物内部会存在不确定性，假定为U，而从外部消除这个不确定性唯一的办法就是引入信息I，即I>U才行。如果I<U，那么只能消除一部分不确定性。反之，如果没有信息，任何公式或者数字的游戏都无法排除不确定性。 知道的信息越多，随机事件的不确定性就越小。

在实际中，我们经常可以利用上下文的信息来预测一个句子中当前的词汇。因此，相关的信息其实也可以用来消除不确定性。这里就引入了条件熵的概念。
假定X和Y是两个随机变量，X是我们需要了解的。那么就知道了X的熵：

现在假定我们还知道Y的一些情况，包括它和X一起出现的概率，数学上称为联合概率分布P(X,Y)。同时我们还知道条件概率P(X,Y)。这时就可以定义在Y的条件下的条件熵为：

同时我们可以得到H(X)>=H(X|Y)，从而也证明二元模型的不确定性会小于一元模型。
进行推广，我们还可以得到两个条件的条件熵：

并且可以证明H(X|Y)>=H(X|Y,Z)，也就是三元模型会比二元模型好。

那么上述的等号什么时候成立呢？如果引入的信息是无关的信息时，不能减少不确定性，这时等号就是成立的。

3 互信息

上一节中提到，当引入的信息和不确定性有关系时，就能消除不确定性。例子：“今天北京下雨”和“过去24小时北京的空气湿度”，这两个随机变量之间存在多大的相关性。为此，这里引入了“互信息”的概念来描述两个随机事件“相关性”的量化度量。

假定有两个随机事件X和Y，它们的互信息定义如下：

互信息其实就是等于消除的不确定性：

现在就很清晰了，所谓两个事件相关性的度量，就是在了解了其中一个Y的前提下，对消除另一个X不确定性所提供的信息量。
互信息的取值是在0到min(H(X),H(Y))之间的函数，当X和Y完全相关时，它的取值是H(X)，同时H(X)=H(Y)；当二者完全无关时，它的取值为0。

4 延伸阅读：相对熵

“相对熵”也叫做“交叉熵”，也可以用来衡量相关性，但是变量的互信息不同，它用来衡量两个取值为正数的函数的相似性。定义如下：

对于这个公式有以下三个结论：

对于两个完全相同的函数，它们的相对熵等于零。
相对熵越大，两个函数差异越大；反之，相对熵越小，两个函数差异越小。
对于概率分布或概率密度函数，如果取值均大于零，相对熵可以度量两个随机分布的差异性。

需要指出的是，相对熵是不对称的，即：

因此通常会两边取平均：

相对熵可以用来衡量两段信息的相似程度。例如如果一篇文章是照抄或改写的，那么它的相对熵就比较小，接近于零。