limx^α(lnx)^β=0公式的推导

在做题的时候，我们经常会遇到需要求这么一个极限
lim⁡x→0+xα(ln⁡x)β(α,β>0)\lim_{x \to 0^+} x^\alpha (\ln{x})^\beta \qquad (\alpha,\beta > 0)x→0+limxα(lnx)β(α,β>0)
虽然很多老师和教辅资料直接给出了结论，但是并没有给出推导，只是用指数比对数增长的快这样含糊一句话盖过去了，下面我们来给出结论和推导。

结论

lim⁡x→0+xα(ln⁡x)β=0,其中α,β>0\lim_{x \to 0^+} x^\alpha (\ln{x})^\beta =0 ,其中 \alpha ,\beta > 0x→0+limxα(lnx)β=0,其中α,β>0

推导

lim⁡x→0+(ln⁡x)βx−α=洛必达lim⁡x→0+β(ln⁡x)β−1⋅1x−αx−α−1=lim⁡x→0+β(ln⁡x)β−1−αx−α=⋯=0\underset{x\rightarrow 0^+}{\lim}\frac{\left( \ln x \right) ^{\beta}}{x^{-\alpha}}\xlongequal{\text{洛必达}}\underset{x\rightarrow 0^+}{\lim}\frac{\beta \left( \ln x \right) ^{\beta -1}\cdot \frac{1}{x}}{-\alpha x^{-\alpha -1}}=\underset{x\rightarrow 0^+}{\lim}\frac{\beta \left( \ln x \right) ^{\beta -1}}{-\alpha x^{-\alpha}}=\cdots =0 x→0+limx−α(lnx)β洛必达x→0+lim−αx−α−1β(lnx)β−1⋅x1=x→0+lim−αx−αβ(lnx)β−1=⋯=0
洛一次lnxlnxlnx的指数就减少1，一直洛到指数≤0\le0≤0

下面来举些例子说明：
当α=1,β=2时\alpha=1,\beta =2时α=1,β=2时
lim⁡x→0+(ln⁡x)2x−1=洛必达lim⁡x→0+2ln⁡x⋅1x−x−2=lim⁡x→0+2ln⁡x−x−1=lim⁡x→0+2⋅1xx−2=lim⁡x→0+2x=0\underset{x\rightarrow 0^+}{\lim}\frac{\left( \ln x \right) ^2}{x^{-1}}\xlongequal{\text{洛必达}}\underset{x\rightarrow 0^+}{\lim}\frac{2\ln x\cdot \frac{1}{x}}{-x^{-2}}=\underset{x\rightarrow 0^+}{\lim}\frac{2\ln x}{-x^{-1}}=\underset{x\rightarrow 0^+}{\lim}\frac{2\cdot \frac{1}{x}}{x^{-2}}=\underset{x\rightarrow 0^+}{\lim}2x=0 x→0+limx−1(lnx)2洛必达x→0+lim−x−22lnx⋅x1=x→0+lim−x−12lnx=x→0+limx−22⋅x1=x→0+lim2x=0
当α=2,β=2时\alpha=2,\beta =2时α=2,β=2时
lim⁡x→0+(ln⁡x)2x−2=洛必达lim⁡x→0+2ln⁡x⋅1x−2x−3=lim⁡x→0+ln⁡x−x−2=lim⁡x→0+1x2x−3=lim⁡x→0+12x2=0\underset{x\rightarrow 0^+}{\lim}\frac{\left( \ln x \right) ^2}{x^{-2}}\xlongequal{\text{洛必达}}\underset{x\rightarrow 0^+}{\lim}\frac{2\ln x\cdot \frac{1}{x}}{-2x^{-3}}=\underset{x\rightarrow 0^+}{\lim}\frac{\ln x}{-x^{-2}}=\underset{x\rightarrow 0^+}{\lim}\frac{\frac{1}{x}}{2x^{-3}}=\underset{x\rightarrow 0^+}{\lim}\frac{1}{2}x^2=0 x→0+limx−2(lnx)2洛必达x→0+lim−2x−32lnx⋅x1=x→0+lim−x−2lnx=x→0+lim2x−3x1=x→0+lim21x2=0

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