求解微分方程

desolve函数
- 实例1
- 实例2
- 实例3
- 实例4
求解有条件的微分方程
微分方程显示隐式解
未找到显式解决方案时查找隐式解决方案
求微分方程级数解
为具有不同单边限制的函数指定初始条件（特解）
练习题

desolve函数

S = dsolve(eqn)求解微分方程eqn，其中eqn是符号方程。使用diff和==来表示微分方程。例如，diff(y,x) == y表示方程dy / dx  =  y。通过指定 eqn为这些方程的向量来求解微分方程组。S = dsolve(eqn,cond)eqn用初始或边界条件求解cond。S = dsolve(___,Name,Value) 使用由一个或多个Name,Value对参数指定的附加选项。[y1,...,yN] = dsolve(___)将解分配给变量y1,...,yN。

求解y关于什么的函数就要声明为y (x) ，必须使用syms来声变量, 否则会被警告

实例1

ddxy⁡(t)=−3y⁡(t)\frac{d}{{dx}}\operatorname{y} \left( t \right) = - 3\operatorname{y} \left( t \right)dxdy(t)=−3y(t)

%案例一
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syms y(t);
eqn=diff(y,t) == -3*y
F=dsolve(eqn)
latex(F)

C1e−3tC_{1}\,{\mathrm{e}}^{-3\,t}C1e−3t

实例2

%案例二
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syms y(t) a
eqn = diff(y,t) == a*y
S = dsolve(eqn)

结果和上面相似

实例3

ddxy⁡(t)=3x2\frac{d}{{dx}}\operatorname{y} \left( t \right) = 3{x^2}dxdy(t)=3x2

%案例三
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syms y(t) x
eqn=diff(y,t)==3*x^2
F=dsolve(eqn)
latex(F)

3tx2+C13\,t\,x^2+C_{1}3tx2+C1

实例4

d2dx2y⁡(t)=ay⁡(t)\frac{{{d^2}}}{{d{x^2}}}\operatorname{y} \left( t \right) = a\operatorname{y} \left( t \right)dx2d2y(t)=ay(t)

%二阶案例一
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syms y(t) a
eqn = diff(y,t,2) == a*y
ySol(t) = dsolve(eqn)
latex(ySol(t))

C1e−at+C2eatC_{1}\,{\mathrm{e}}^{-\sqrt{a}\,t}+C_{2}\,{\mathrm{e}}^{\sqrt{a}\,t}C1e−at+C2eat

求解有条件的微分方程

dydt=zdzdt=−y\begin{gathered} \frac{{dy}}{{dt}} = z \\ \frac{{dz}}{{dt}} = - y \\ \end{gathered} dtdy=zdtdz=−y

%有条件的微分方程
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syms y(t) z(t)
eqns = [diff(y,t) == z, diff(z,t) == -y]
S = dsolve(eqns)

dsolve返回一个包含解的结构

%有条件的微分方程案例1
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syms y(t) z(t)
eqns = [diff(y,t) == z, diff(z,t) == -y]
S = dsolve(eqns)
ySol(t) = S.y
zSol(t) = S.z

C1cos⁡(t)+C2sin⁡(t)C_{1}\,\cos\left(t\right)+C_{2}\,\sin\left(t\right)C1cos(t)+C2sin(t)
C2cos⁡(t)−C1sin⁡(t)C_{2}\,\cos\left(t\right)-C_{1}\,\sin\left(t\right)C2cos(t)−C1sin(t)
(∂∂ty⁡(t)=4z⁡(t)∂∂tz⁡(t)=−3y⁡(t))\left( {\frac{\partial }{{\partial t}}\operatorname{y} \left( t \right) = 4\operatorname{z} \left( t \right)\,\frac{\partial }{{\partial t}}\operatorname{z} \left( t \right) = -3\operatorname{y} \left( t \right)} \right)(∂t∂y(t)=4z(t)∂t∂z(t)=−3y(t))

%有条件的微分方程案例2
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syms y(t) z(t)
eqns = [diff(y,t) == 4*z, diff(z,t) == -3*y]
S = dsolve(eqns)
ySol(t) = S.y
zSol(t) = S.z

其实也可以直接用

%输出分配
[ySol(t),zSol(t)] = dsolve(eqns)

微分方程显示隐式解

∂∂xy⁡(x)=e−y⁡(x)+y⁡(x)\frac{\partial }{{\partial x}}\operatorname{y} \left( x \right) = {e^{ - \operatorname{y} \left( x \right)}} + \operatorname{y} \left( x \right)∂x∂y(x)=e−y(x)+y(x)

%这里我们设置"Inplicit"为True
sol = dsolve(eqn,'Implicit',true)

%求微分方程的显式和隐式解
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syms y(x)
eqn = diff(y) == y+exp(-y)
sol = dsolve(eqn)
sol = dsolve(eqn,'Implicit',true)

未找到显式解决方案时查找隐式解决方案

∂∂ty⁡(x)=y⁡(x)+ay⁡(x)\frac{\partial }{{\partial t}}\operatorname{y} \left( x \right) = \operatorname{y} \left( x \right) + \frac{a}{{\sqrt {\operatorname{y} \left( x \right)} }}∂t∂y(x)=y(x)+y(x)a
同时我们已知y(a)=1y(a)=1y(a)=1

%当未找到显式解决方案时查找隐式解决方案
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syms a y(t)
eqn = diff(y,t) == a/sqrt(y) + y
cond = y(a) == 1;
ySimplified = dsolve(eqn, cond)

若要返回包含参数a的所有可能值的解决方案，请通过将"lgnoreAnalyticConstraints"设置为false来关闭简化。

yNotSimplified = dsolve(eqn,cond,'IgnoreAnalyticConstraints',false)

%当未找到显式解决方案时查找隐式解决方案
clear all
clc
syms a y(x)
eqn = diff(y,x) == a/sqrt(y) + y
cond = y(a) == 1;
ySimplified = dsolve(eqn, cond)
yNotSimplified = dsolve(eqn,cond,'IgnoreAnalyticConstraints',false)

求微分方程级数解

dsolve返回包含未计算积分项的解
(x+1)∂∂xy⁡(x)−y⁡(x)+∂2∂x2y⁡(x)=0\left( {x + 1} \right)\frac{\partial }{{\partial x}}\operatorname{y} \left( x \right) - \operatorname{y} \left( x \right) + \frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {x^2}}}\operatorname{y} \left( x \right) = 0(x+1)∂x∂y(x)−y(x)+∂x2∂2y(x)=0

%级数1
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syms y(x)
eqn = (x^2-1)^2*diff(y,2) + (x+1)*diff(y) - y == 0
S = dsolve(eqn)

但是若要返回x=-1附近微分方程的级数解，请将“ExpansionPoint"设置为 -1。dsolve 根据Puiseux级数展开返回两1个线性无关的解。

通过将‘ExpansionPoint’设置为InfInfInf,找到围绕扩展点∞\infty∞的其他级数解

为具有不同单边限制的函数指定初始条件（特解）

∂∂xy⁡(x)=e−1xx2\frac{\partial }{{\partial x}}\operatorname{y} \left( x \right) = \frac{{{e^{ - \frac{1}{x}}}}}{{{x^2}}}∂x∂y(x)=x2e−x1

%添加条件
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syms y(x)
eqn = diff(y) == exp(-1/x)/x^2
ySol(x) = dsolve(eqn)

设初始条件y(0)=2y(0)=2y(0)=2,则须添加下列代码：

cond = y(0) == 2;
S = dsolve(eqn,cond)

练习题

可以直接敲代码试试
dydt+4y⁡(t)=e−t,y(0)=1\frac{{dy}}{{dt}} + 4\operatorname{y} \left( t \right) = {e^{ - t}},y(0)=1dtdy+4y(t)=e−t,y(0)=1

2x2d2ydx2+3xdydx−y=02{x^2}\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} + 3x\frac{{dy}}{{dx}} - y = 02x2dx2d2y+3xdxdy−y=0

The Airy equation.
d2ydx2=xy⁡(x)\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} = x\operatorname{y} \left( x \right)dx2d2y=xy(x)

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