一、理解线代物理意义

数字强调大小，线代强调方向
别的向量是基向量缩放得到的
向量不平行就线性无关吗
无关的向量可以张成一个子空间，即表示某一维度里面的任意一个向量
A特征向量=特征值E*特征向量
标准基向量表示的特征向量换一种基向量任然是相同的倍数

二、常用结论

AB=0
r(A)+r(B)<=n,B的列向量是方程组Ax=0的解
A为实对称矩阵，则A的伴随也是实对称矩阵

三、线性代数知识点

1、行列式

行列式按行或列展开：由代数余子式Aij与系数aij乘积的累加
代数余子式无系数但有(−1)i+j(-1)^{i+j}(−1)i+j

row是行，column是列
c1+c2:指将行列式的第二列加到第一列中

范德蒙行列式的计算：交叉相减相乘

2、矩阵

矩阵初等变换：

初等矩阵：由单位阵经过一次（不是一系列）初等变换得到的矩阵
三种：交换，倍乘非零常数，倍加
初等行变换相当于左乘初等矩阵
初等列变换相当于右乘初等矩阵

A通过初等列变换得到B：
1.r(A)=r(B)
2.列变换，Ax=B有解，即r(A)=r(A,B)

分块阵：

AB=C

A、C按列分块：
C列向量由A列向量线性表出
A可以通过一系列初等列变换得到C
Ax=B有解，B的一个列向量bi是方程组Ax=ci的解，r(A)=r(B)=r(A,B)

B、C按行分块：
C行向量由B行向量线性表出
B可以通过初等行变换得到C

可逆矩阵与求矩阵的逆

可逆矩阵就是非奇异矩阵，非奇异矩阵也是可逆矩阵

伴随矩阵：

由代数余子式组成
AA*=|A|E

3、向量与相关无关

矩阵A、B等价

即经过初等变换变成对方<=>r(A)=r(B)

向量组A、B等价:

可以线性表示对方
r(A)=r(B)=r(A,B)<=>Ax=B,By=A两个方程组有解

4、方程组与秩的关系

克拉默法则：规定行列式不为0，方程组的解是什么

Ax=b
非齐次方程组系数行列式不为0，方程组有唯一解,r(A)=r(A,b)=n
非齐次方程组系数行列式为0，可能无穷多解，r(A)=r(A,b)<n
——线性无关的解向量个数n-r(A)
非齐次方程组系数行列式为0，可能无解，r(A)<r(A,b)

Ax=0
齐次方程组的系数行列式不为0，只有零解，r(A)=n
齐次方程组系数行列式为0，有非零解，r(A)<n

方程组有无穷多解
解向量：个数=n-r(A)
基础解系：方程的一组解
通解：方程组的所有解(k为任意常数)

秩的公式：

秩越拼越大，越乘越小
0<=r(a)<=min{m,n}
r(a)+r(b)>=r(a,b)>=max{r(a),r(b)}
r(ab)<=min{r(a),r(b)}
r(A)=n，r(A*)=n
r(A)=n-1，r(A*)=1
r(A)<n-1，r(A*)=0

r(A,AB)=r(A)——AB的列向量可以由A的列向量线性表出,按列拼接

5、特征值

求特征值（可以是实数或虚数）

上下三角矩阵、对角矩阵的特征值就是主对角线元素

矩阵A、B相似:

P−1AP=BP^{-1}AP=BP−1AP=B定义

必要条件:
1.A与B相同特征值线性无关的向量个数相同（阶数不超过3也充要）

2.特征值相同（无论能否相似对角化），即特征多项式相同
矩阵的迹相同（对角线元素之和）=特征值的和
行列式的值相同=特征值的乘积
r(A)=r(B),原理：乘以可逆矩阵不改变矩阵的秩

3.λE−A与λE−B相似\lambda E-A与\lambda E-B相似λE−A与λE−B相似
即r(λE−A)=r(λE−B)r(\lambda E-A)=r(\lambda E-B)r(λE−A)=r(λE−B)
即（λE−A）x=0与（λE−B）解向量个数相同（\lambda E-A）x=0与（\lambda E-B）解向量个数相同（λE−A）x=0与（λE−B）解向量个数相同

4.特殊：对实对称矩阵A、B，一定可以相似对角化（即使有重根）
实对称矩阵A与B相似<=>A、B特征值全部相同

相似对角化的条件：

定理：特征值不同特征相量线性无关
有三个不同的特征值，一定可以相似对角化
有某特征值是重根，它也要有重根个数的线性无关的特征向量

6、二次型

矩阵A、B合同

存在C,使CTAC=B，B是标准型存在C,使C^{T}AC=B，B是标准型存在C,使CTAC=B，B是标准型
一个实对称矩阵的正、负惯性指数与另一个实对称矩阵的正负惯性指数相等

实对称矩阵

实对称矩阵一定可以相似对角化：
特征值不同无重根，特征相量线性无关且相互正交
即使某特征值存在重根，它也一定有重根个数的线性无关的特征向量，但需要通过施密特正交变换得到正交的特征向量

施密特正交化

二次型到标准形

二次型：：n个变量的二次多项式
标准形：只有平方项
规范形：只有平方项，系数只能是1，0，-1
惯性指数：正、0、负
二次型正定：带入不全为0的一组数，结果一定大于0
正惯性指数是n（负惯性指数为0不代表正惯性指数n,故不可推正定）

二次型到标准形：
完全平方和不一定是标准形，线性变换必须可逆，满秩
先写出二次型对应的对称矩阵
法一：配方法
法二：实对称矩阵正交变换（相似对角化、正交化、单位化）

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