简介：

这篇文章将讲述内插器的框架和线性内插器的原理。线性内插器有一个很常见的用途，就是用于图像的缩放，于是我突然好奇，能不能对一段采样频率Fs为44.1kHz的音频进行采样频率为Fs/8的降采样/下采样，再用内插器有效地复原出原音频信号呢？答案留在后面。

一、内插器

首先介绍内插这个概念。按 Digital Signal Processing- A computer-Based Approach 一书中所说：“降低序列抽样率的过程称为抽取，而实现抽样的多抽样率结构称为抽取器，所以，增加抽样率这个相反过程就称为内插。用于内插的多抽样率结构称为内插器。”

内插器的种类其实有不少种，分别用于不同的系统中。常见的分为线性内插器和非线性内插器。在这里介绍线性内插器。

线性内插器的原理相当简单，我们先看看他的结构图：

其中的 ↑L 是上采样器，它完成什么功能呢？我们看图即可：

首先假如x[n]长这样：

那么它上采样之后，比如L=4（注意这里，L为多少则频率乘以L倍，直观点就是两个值的间隔多L-1的插值）：

所以，上采样的过程实际上就是往中间插入了L-1个零点。注意这里是数字信号，所以n是正整数，但是对应到时域，那就是在原本间隔为Ts的两个值有等间隔地插入三个值，相当于Ts除以了4，也即采样率Fs乘以了4。若不是很清楚这个过程可以去看本专栏的另一篇文章：【信号处理】采样定理的深入浅出。

得到上采样的序列后，采样器会根据得到的序列计算一个全新的序列，其计算式如下：

内插之后就得到：

我们可以看到，L=4的内插器的输入输出关系为：若此时n在插入的零值的位置上，内插的值就受到旁边的两个原本的值的影响，但是若n在原本的值上，它只受旁边三个距离以内的影响，而它三个距离以内都是0.所以原本的值不会被影响到，也就不会有失真。

读者必须注意，这个得到的结果是根据上采样之后，插值仍然为0的 $x_u[n]$ 计算而来的，刚学的时候通常会疑惑，比如我从n=0一直计算到n=5，那么原本为0的插值应该有值了才对啊，这样的话不会影响到原本的值吗？但其实算法不是这样的，它是像读表一样，计算内插后的序列 $y[n]$ 的值的时候，我读 $x_u[n]$ 的需要的值，进行计算后，填入 $y[n]$ 。

二、MATLAB 仿真

这里是对音频信号的仿真，注意我这里用了我本专栏另一篇文章【信号处理】ADC中量化的更多细节的量化方法编码和解码。然后用双线性内插器插值。

%%
clear;clc;close all;
% Sampling at 44.1 kHz
[audio_signal,Fs]=audioread('Jacky_Audio_Signal.mp3'); % Sampling Interval: Ts=1/Fs%%
% Sampling at Ts=8*(1/Fs)
audio_signal_sampled=audio_signal(1:8:end,1);
%sound(audio_signal_sampled,Fs/4);%%
% non-uniform Quantizing & Source Coding
len_sig=size(audio_signal_sampled,1); % Length of the audio signal
parallel_code=zeros(len_sig,8); % A store
max_value=max(audio_signal_sampled);
piece=max_value/2048;
for i=1:1:len_sigcoding_value=audio_signal_sampled(i);% Step1: Sign Codeif coding_value>0parallel_code(i,1)=1;elseparallel_code(i,1)=0;end% Step2: Segment Codescoding_value_abs=abs(coding_value);if coding_value_abs>=max_value/2parallel_code(i,2)=1;parallel_code(i,3)=1;parallel_code(i,4)=1;% Step3: Inner Segment Codesbit_string=dec2bin( (coding_value_abs-max_value/2)/(64*piece),4);parallel_code(i,5)=str2double(bit_string(1));parallel_code(i,6)=str2double(bit_string(2));parallel_code(i,7)=str2double(bit_string(3));parallel_code(i,8)=str2double(bit_string(4));elseif (coding_value_abs>=max_value/4)&(coding_value_abs<max_value/2)parallel_code(i,2)=1;parallel_code(i,3)=1;parallel_code(i,4)=0;bit_string=dec2bin( (coding_value_abs-max_value/4)/(32*piece),4);parallel_code(i,5)=str2double(bit_string(1));parallel_code(i,6)=str2double(bit_string(2));parallel_code(i,7)=str2double(bit_string(3));parallel_code(i,8)=str2double(bit_string(4));elseif (coding_value_abs>=max_value/8)&(coding_value_abs<max_value/4)parallel_code(i,2)=1;parallel_code(i,3)=0;parallel_code(i,4)=1;bit_string=dec2bin( (coding_value_abs-max_value/8)/(16*piece),4);parallel_code(i,5)=str2double(bit_string(1));parallel_code(i,6)=str2double(bit_string(2));parallel_code(i,7)=str2double(bit_string(3));parallel_code(i,8)=str2double(bit_string(4));elseif (coding_value_abs>=max_value/16)&(coding_value_abs<max_value/8)parallel_code(i,2)=1;parallel_code(i,3)=0;parallel_code(i,4)=0;bit_string=dec2bin( (coding_value_abs-max_value/16)/(8*piece),4);parallel_code(i,5)=str2double(bit_string(1));parallel_code(i,6)=str2double(bit_string(2));parallel_code(i,7)=str2double(bit_string(3));parallel_code(i,8)=str2double(bit_string(4));elseif (coding_value_abs>=max_value/32)&(coding_value_abs<max_value/16)parallel_code(i,2)=0;parallel_code(i,3)=1;parallel_code(i,4)=1;bit_string=dec2bin( (coding_value_abs-max_value/32)/(4*piece),4);parallel_code(i,5)=str2double(bit_string(1));parallel_code(i,6)=str2double(bit_string(2));parallel_code(i,7)=str2double(bit_string(3));parallel_code(i,8)=str2double(bit_string(4));elseif (coding_value_abs>=max_value/64)&(coding_value_abs<max_value/32)parallel_code(i,2)=0;parallel_code(i,3)=1;parallel_code(i,4)=0;bit_string=dec2bin( (coding_value_abs-max_value/64)/(2*piece),4);parallel_code(i,5)=str2double(bit_string(1));parallel_code(i,6)=str2double(bit_string(2));parallel_code(i,7)=str2double(bit_string(3));parallel_code(i,8)=str2double(bit_string(4));elseif (coding_value_abs>=max_value/128)&(coding_value_abs<max_value/64)parallel_code(i,2)=0;parallel_code(i,3)=0;parallel_code(i,4)=1;bit_string=dec2bin( (coding_value_abs-max_value/128)/(1*piece),4);parallel_code(i,5)=str2double(bit_string(1));parallel_code(i,6)=str2double(bit_string(2));parallel_code(i,7)=str2double(bit_string(3));parallel_code(i,8)=str2double(bit_string(4));elseif (coding_value_abs>=0)&(coding_value_abs<max_value/128)parallel_code(i,2)=0;parallel_code(i,3)=0;parallel_code(i,4)=0;bit_string=dec2bin(coding_value_abs/piece,4);parallel_code(i,5)=str2double(bit_string(1));parallel_code(i,6)=str2double(bit_string(2));parallel_code(i,7)=str2double(bit_string(3));parallel_code(i,8)=str2double(bit_string(4));end
end%%
% Source Decoding - Decode Quantilization
[nov,~]=size(parallel_code); % The amount of value%%
% Decoding (This step takes too much time, and hopefully I can solve it in the future
audio_signal_retrieve=zeros(nov,1);
max_value=max(audio_signal_sampled);
piece=max_value/2048;
for i=1:1:novcode=parallel_code(i,:);value=0;% Segment Decodeseg_index=code(2)*2^2+code(3)*2^1+code(4);if seg_index==0gap=(max_value/128)/16;step=0;elseif seg_index==1gap=(max_value/128)/16;step=16*piece;elseif seg_index==2gap=(max_value/64)/16;step=32*piece;elseif seg_index==3gap=(max_value/32)/16;step=64*piece;elseif seg_index==4gap=(max_value/16)/16;step=128*piece;elseif seg_index==5gap=(max_value/8)/16;step=256*piece;elseif seg_index==6gap=(max_value/4)/16;step=512*piece;elseif seg_index==7gap=(max_value/2)/16;step=1024*piece;end% Inner Segment Codeinner_seg_index=2^3*code(5)+2^2*code(6)+2*code(7)+code(8);value=inner_seg_index*gap+step;% Signif code(1)==0value=-value;endaudio_signal_retrieve(i)=value;
end%%
% Test the audio
sound(audio_signal_retrieve,Fs/8);%%
% 2 Factors Linear Interpolation
audio_signal_litp=zeros(2*nov,1);
audio_signal_litp(2:2:end)=audio_signal_retrieve;  % Upper Sampling
buffer=zeros(2*nov,1);
for i=3:2:2*nov-1buffer(i)=0.5*audio_signal_litp(i-1)+0.5*audio_signal_litp(i+1);
end
buffer(1,1)=audio_signal_litp(2,1)*0.5;
audio_signal_litp=audio_signal_litp+buffer;%%
% Test the audio after interpolation
sound(audio_signal_litp,Fs/4);

内插其实可以用MATLAB的函数：interp(signal,r)

signal就是你要内插的信号，r就是L，即上采样倍数。

三、仿真结果

我发现，对音频进行线性内插好像不是很能恢复原来的音质，但是内插绝对不会让原音频失真。内插后听起来会有些刺耳的杂音，估计是内插后得到的，总之效果不太好。

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