「BZOJ2144」跳跳棋

题目描述

跳跳棋是在一条数轴上进行的。棋子只能摆在整点上。每个点不能摆超过一个棋子。我们用跳跳棋来做一个简单的游戏：棋盘上有三颗棋子，分别在a,b,c这三个位置。我们要通过最少的跳动把他们的位置移动成x,y,z（注意：棋子是没有区别的）。

跳动的规则很简单，任意选一颗棋子，对一颗中轴棋子跳动。跳动后两颗棋子距离不变。一次只允许跳过一颗棋子。

写一个程序，首先判断是否可以完成任务。如果可以，输出最少需要的跳动次数。

输入格式

第一行包含三个整数，表示当前棋子的位置a,b,c。第二行包含三个整数，表示目标位置x,y,z。

输出格式

如果无解，输出一行 NO。如果可以到达，第一行输出 YES，第二行输出最少步数。

解答：

考虑对于当前状态的a,b,c有哪些可移动方案，设d1=b-a,d2=c-b，如果d1!=d2，那么b可以向两边跳，d1,d2其中小的那个可以向中间跳；如果d1=d2那么只能由b向两边跳。

可移动方案最多只有三种，那么可以将每个状态看成一个点，往左右跳看作这个点的左右子节点，往中间跳看作是这个点的父节点，如果不能往中间跳，那这个点就是根节点。

那么所有状态就变成了一个二叉树森林，判断能否完成就变成了判断两个状态是否在同一棵树中，而最小步数自然就是两点间的距离了。

但如果将所有状态都枚举出来显然不行，例如下面这个样例：

1 2 1e9

1e9-1 1e9-2 1e9

要跳1e9级别这么多次，显然不能暴力跳。

那么再回到求答案的那一步，两点间的距离不就是lca分别和两点深度差的和吗！

而深度就是每个点跳到根节点的步数。

那么两点往上跳在原题中就是两边的点往中间跳。

因为跳的点和被跳的点之间的相对距离不变，那么就相当于将两个点都平移了两点间距离这么多。

假设d1>d2，那么c最多向左平移(d1-1)/d2次(因为不能跳到同一个点)。

对于d1和d2，我们可以像求gcd一样辗转相除来求得在二叉树上给出的这两点的深度，然后将深度深的点往上跳使两点深度相同。

接下来只要找到深度相同的这两个点的lca就好了，可以像求倍增lca一样往上跳验证，也可以用二分答案来往上跳验证。

我这里用了二分的写法。注意原题三个数不一定按顺序给出。

代码如下：

#include<set>
#include<map>
#include<cmath>
#include<stack>
#include<queue>
#include<vector>
#include<bitset>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
ll a,b,c;
ll x,y,z;
ll dep1,dep2;
ll root1,root2;
ll l1,l2;
ll len;
void cmp(ll &a,ll &b,ll &c)
{if(a>b){swap(a,b);}if(a>c){swap(a,c);}if(b>c){swap(b,c);}
}
ll find_root(ll a,ll b,ll c,ll &dep,ll &anc)
{ll d1=b-a;ll d2=c-b;while(d1!=d2){if(d1<d2){ll s=d2/d1;ll t=d2%d1;if(t==0){dep+=(s-1);anc=d1;return a+(s-1)*d1;}else{dep+=s;a+=s*d1;d2=t;}}else{ll s=d1/d2;ll t=d1%d2;if(t==0){dep+=(s-1);anc=d2;return a;}else{dep+=s;d1=t;}}}dep=0;anc=d1;return a;
}
void get_fa(ll &a,ll &b,ll &c,ll dep)
{ll d1=b-a;ll d2=c-b;while(dep>0){if(d1<d2){ll s=d2/d1;ll t=d2%d1;if(s>=dep){a+=dep*d1;b+=dep*d1;if(b==c){b=a;a-=d1;}return ;}else{dep-=s;a+=s*d1;b+=s*d1;d2=t;}}else{ll s=d1/d2;ll t=d1%d2;if(s>=dep){c-=dep*d2;b-=dep*d2;if(a==b){b=c;c+=d2;}return ;}else{dep-=s;b-=s*d2;c-=s*d2;d1=t;}}}
}
int main()
{scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&c);scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&z);cmp(a,b,c);cmp(x,y,z);l1=find_root(a,b,c,dep1,root1);l2=find_root(x,y,z,dep2,root2);if(l1!=l2||root1!=root2){printf("NO");return 0;}if(dep1<dep2){len+=dep2-dep1;get_fa(x,y,z,len);}else{len+=dep1-dep2;get_fa(a,b,c,len);}ll l=0;ll r=min(dep1,dep2);ll ans=0;while(l<=r){ll mid=(l+r)/2;ll a1=a,b1=b,c1=c;ll x1=x,y1=y,z1=z;get_fa(a1,b1,c1,mid);get_fa(x1,y1,z1,mid);if(a1==x1&&b1==y1&&c1==z1){ans=mid;r=mid-1;}else{l=mid+1;}}printf("YES\n");printf("%lld",len+ans*2);
}

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