【渝粤题库】陕西师范大学200691离散数学作业（高起专、高起本、专升本）
《离散数学》作业
一、选择或填空
1．下列公式中哪些是永真式？( )
A.(┐PQ)→(Q→R) B.P→(Q→Q) C.(PQ)→P D.P→(PQ)
2．设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值：
A. xy (xy=y) ( ) B. xy(x+y=y) ( )
C. xy(x+y=x) ( ) D. xy(y=2x) ( )
3．有n个结点的树，其结点度数之和是( )。
4．举出集合A上的既是等价关系又是偏序关系的一个例子。( )
5．群<G,>的等幂元是( )，有( )个。
6．下面给出的集合中，哪一个不是前缀码( )。
A. {a，ab，110，a1b11} B. {01，001，000，1}
C. {1，2，00，01，0210} D. {12，11，101，002，0011}
7．下列哪些公式为永真蕴含式？( )
A.Q=>Q→P B.Q=>P→Q C.P=>P→Q D.P(PQ)=>P
8．设P：我生病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为( )。
（1）若我生病，则我不去学校 (2) 当且仅当我生病时，我才不去学校
9．任一有向图中，度数为奇数的结点有( )个。
10．集合A上的等价关系的三个性质是什么？( )
11．群＜A,＞的等幂元有( )个，是( )，零元有( )个。
12．一个图的欧拉回路是一条通过图中( )的回路。
13．设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( )
A.P=>PQ B. PQ=>P C. PQ=>PQ
D.P(P→Q)=>Q E. (P→Q)=>P F. P(PQ)=>P
14．判断下列命题哪几个为正确？( )
A. {Ф}∈{Ф，{{Ф}}} B. {Ф}{Ф，{{Ф}}} C. Ф∈{{Ф}}
D. Ф{Ф} E. {a,b}∈{a,b,{a},{b}}
15．设a是10阶群的生成元， 则a4是( )阶元素，a3是( )阶元素。
16．设G是一个哈密尔顿图，则G一定是( )。
A. 欧拉图 B. 树 C. 平面图 D. 连通图
17．设G是一棵树，则G 的生成树有( )棵。
A. 0 B. C. 2 D. 不能确定
18．设无向图G有16条边且每个顶点的度数都是2，则图G有( )个顶点。
A. 10 B. . 8 D. 16
19．Ａ，Ｂ，Ｃ是三个集合，则下列哪几个推理正确：
A. AB，BC=> AC B. AB，BC=> A∈B C. A∈B，B∈C=> A∈C
20．设S={１，２，３，４}，Ａ上的关系Ｒ＝｛〈1，2〉，〈2，1〉，〈2，3〉，〈3，4〉｝，求(1)RR (2) R-1 。
21．一棵无向树的顶点数n与边数m关系是( )。
22．设A={3，6，9}，A上的二元运算定义为：ab=min{a，b}，则在独异点<A，>中，单位元是( )，零元是( )。
23．设G是有n个结点m条边的连通平面图，且有k个面，则k等于:
A. m-n+2 B. n-m. n+m-2 D. m+n+2。
24．设无向图G有18条边且每个顶点的度数都是3，则图G有( )个顶点。
A. 10 B. . 8 D. 12
25、A，B，C是三个集合，则下列哪个推理正确?( )
(1) AB，BC AC
(2) AB，BC AB
(3) AB，BC AC
26、判断下列命题哪个正确?( )
(1) {Ф}{Ф,{{Ф}}} (2) {Ф}{Ф,{{Ф}}
(3) Ф{{Ф}} (4) Ф={Ф}
27、设T是一棵树，则T是一个( ).
(1) 欧拉图 (2) 哈密尔顿图 (3) 连通图
28、下列公式中哪个不是蕴涵式?( )
(1) PPQ (2) PQP
(3) PQPQ (4) P(P→Q)Q
39、下面给出的集合中，哪一个不是前缀码( ).
(1) {a，ab，110，a1b11} (2) {01，001，000，1}
(3) {1，2，00，01，0210} (4) {12，11，101，002，0011}
30 6阶有限群的任何子群一定不是( ).
(1) 2阶 (2) 3 阶 (3) 4 阶 (4) 6 阶
31、在有n个顶点的连通图中，其边数( ).
(1) 最多有n-1条 (2) 至少有n-1 条
(3) 最多有n条 (4) 至少有n 条
32、下列哪一种图不一定是树?( )
(1) 无简单回路的连通图 (2) 有n个顶点n-1条边的连通图
(3) 每对顶点间都有通路的图 (4) 连通但删去一条边便不连通的图
33、下面给出的集合中，哪一个是前缀码?( )
(1) {0，10，110，101111} (2) {01，001，000，1}
(3) {b，c，aa，ab，aba} (4) {1，11，101，001，0011}
34、有限布尔代数的元素的个数一定等于( ).
(1) 偶数 (2) 奇数 (3) 4的倍数 (4) 2的正整数次幂
35、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的?( )
(1) ab=a-b (2) ab=max{a,b} (3) ab=a+2b (4) a*b=|a-b|
36、判断下列命题哪个为真?( )
(1) A-B=B-A A=B (2) 空集是任何集合的真子集
(3) 空集只是非空集合的子集 (4) 若A的一个元素属于B，则A=B
二、求下列各公式的主析取范式和主合取范式
1． PQ
2． Q→( PR)
3． P→Q
4． (P→Q) (RP)
5． PQ
6 Q→(PR)
7 (P→Q)(P→R)
8、(P→Q)R
9、 (PR) (QR) P
三、证明
1．PQ， P→R, Q→S => RS
2．A→(CB)，B→A，D→C => A→D
3．P→Q，QR，R，SP=>S
4．BD，(E→F)→D，E=>B
5．A→(B→C)，C→(DE)，F→(DE),A=>B→F
6、P→(Q→R)，R→(Q→S) => P→(Q→S)
四、设Ａ，Ｂ，Ｃ是三个集合，证明
1．(A－B)∪(A－C)=A－(B∩C)
2．A∩B=A∩C，∩B=∩C，则C=B
3．A∩(B－C)＝(A∩B)－(A∩C)
4．A－(B∪C)＝(A－B)－C
5．(A－B)∩(A－C)=A－(B∪C)
6、A=B AB=
7、A∪B=A∪C，∪B=∪C，则C=B
五、证明
1．设e和0是关于A上二元运算的单位元和零元，如果|A|>1，则e0。
2．任一图中度数为奇数的结点是偶数个。
3．设群＜G，＊＞除单位元外每个元素的阶均为2，则＜G，＊＞是交换群。
4．在一个连通简单无向平面图G=〈V，E，F〉中若|V|3，则 |E|3|V－6。
5．单位元有惟一逆元。
6．设<G,>是一个群，则对于a,b∈G，必有惟一的x∈G，使得ax=b。
7．设代数系统<G,>是一个群，则G除单位元以外无其它等幂元。
8．若连通简单无向平面图G有n个结点，m条边，k个面，且每个面至少由k(k3)条边围成，则 mk(ｎ－2)／(ｋ－2)。
9．证明在元素不少于两个的群中不存在零元。
10．素数阶循环群的每个非单位元都是生成元。
11．设G=〈V，E〉是一个连通且|V|=|E|+1的图，则G中有一个度为1的结点。
12．给定无向连通简单平面图G=<V,E,F>，且|V|=6, |E|=12, 则对于任意fF, deg(f)=3。
13．证明在一个群中单位元是惟一的。
14．在一个群〈G，〉中，若G中的元素a的阶是k，即 | a |=k，则a-1的阶也是k。
15．若有n个结点的连通图中恰有n-1 条边，则图中至少有一个结点度数为1。
16、设e和0是关于A上二元运算的单位元和零元，如果|A|>1，则e0.
17、设T=<V,E>是一棵树，若|V|>1，则T中至少存在两片树叶.
18、若n阶连通图中恰有n-1 条边，则图中至少有一个顶点度数为1.
19、证明对于连通无向简单平面图，当边数e＜30时，必存在度数≤4的顶点.
20、证明在有n个结点的树中，其结点度数之和是2n-2。
21、在半群<G,>中，若对a,bG，方程ax=b 和ya=b都有惟一解，则关于运算存在单位元。
2、在一个偶数阶群中一定存在一个2阶元素。
3、在一个群〈G，*〉中，若G中的元素a的阶是k，即 | a |=k，则a-1的阶也是k。
4、在一个连通简单无向平面图G=〈V，E，F〉中，若边数小于30，则图中至少有一个不超过4度的结点。
5、若有n个结点的连通图中恰有n-1 条边，则图中至少有一个结点度数为1。
6、设＜S，，⊙，′，0，1>是一布尔代数，则 ＜S，＋＞是一个交换群，其中＋定义为
a+b=(a⊙b′)(a′⊙b)
六、证明题：
1、A→(B→C)，C→(DE)，F→(DE),A=>B→F
2、P→Q，P→R，R→S =>S→Q
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