动力学与运动学的区别与联系

百度百科对运动学和动力学的解释分别为：

运动学（Kinematics）是从几何的角度（指不涉及物体本身的物理性质和加在物体上的力) 描述和研究物体位置随时间的变化规律的力学分支。以研究质点和刚体这两个简化模型的运动为基础，并进一步研究变形体（弹性体、流体等）的运动。
点的运动学研究点的运动方程、轨迹、位移、速度、加速度等运动特征，这些都随所选参考系的不同而异。刚体运动按运动的特性又可分为平动、绕定轴转动、平面平行运动、绕定点转动和一般运动。运动学为动力学、机械学提供理论基础，也是自然科学和工程技术必需的基础知识。运动学是理论力学的一个分支学科，它是运用几何学的方法来研究物体的运动。

动力学（Dynamics）是理论力学的一个分支学科，它主要研究作用于物体的力与物体运动的关系。动力学的研究对象是运动速度远小于光速的宏观物体。
质点动力学有两类基本问题:一是已知貭点的运动，求作用于质点上的力，二是已知作用于质点上的力，求质点的运动，求解第一类问题时只要对质点的运动方程取二阶导数，得到质点的加速度，代入牛顿第二定律，即可求得力；求解第二类问题时需要求解质点运动微分方程或求积分。所谓质点运动微分方程就是把运动第二定律写为包含质点的坐标对时间的导数的方程。

简单的讲，运动学研究的是位移、速度和加速度（质点），角度、角速度和角加速度（刚体）之间的关系，动力学研究的是力/力矩与运动的关系。两者通过“牛顿第二定理”（f=maf = maf=ma）联系起来。

导弹运动模型

惯性系中的矢量形式运动方程

质心运动方程

{mdvadt=P+mg+R+Fc+Fgdρadt=va(1)\left \{ \begin{aligned} m \frac{d \boldsymbol{v}_a}{dt} &= \boldsymbol{P} + m \boldsymbol{g} + \boldsymbol{R} + \boldsymbol{F}_c + \boldsymbol{F}_g\\ \frac{d \boldsymbol{\rho}_a}{dt} &= \boldsymbol{v}_a \end{aligned} \right. \tag{1} ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧mdtdvadtdρa=P+mg+R+Fc+Fg=va(1)

绕质心运动方程

{I⋅dωTdt+ωT×(I⋅ωT)=Mst+Md+Mp+Mc+MgωT=ϕ˙T+ψ˙T+γ˙T(2)\left \{ \begin{aligned} \boldsymbol{I} \cdot \frac{d \boldsymbol{\omega}_T}{dt} + \boldsymbol{\omega}_T \times (\boldsymbol{I} \cdot \boldsymbol{\omega}_T) &= \boldsymbol{M}_{st} + \boldsymbol{M}_{d} + \boldsymbol{M}_{p} + \boldsymbol{M}_{c} + \boldsymbol{M}_{g} \\ \boldsymbol{\omega}_T &= \dot{\boldsymbol{\phi}}_T + \dot{\boldsymbol{\psi}}_T + \dot{\boldsymbol{\gamma}}_T \end{aligned} \right. \tag{2} ⎩⎨⎧I⋅dtdωT+ωT×(I⋅ωT)ωT=Mst+Md+Mp+Mc+Mg=ϕ˙T+ψ˙T+γ˙T(2)
质心运动方程组和绕质心运动方程组中，第一个方程为动力学方程，第二个方程为运动学方程，这可以与第一部分“动力学与运动学的区别与联系”里的解释进行交互理解。
为什么不在惯性系下进行描述和计算呢？

发射坐标系中的标量质心运动方程

导弹质心动力学

mdvdt=P+mg+R+Fc+Fg−mωe×(ωe×r)−2mωe×v(3)m \frac{d \boldsymbol{v}}{dt} = \boldsymbol{P} + m \boldsymbol{g} + \boldsymbol{R} + \boldsymbol{F}_c + \boldsymbol{F}_g - m \boldsymbol{\omega}_e \times (\boldsymbol{\omega}_e \times \boldsymbol{r}) - 2 m \boldsymbol{\omega}_e \times \boldsymbol{v} \tag{3} mdtdv=P+mg+R+Fc+Fg−mωe×(ωe×r)−2mωe×v(3)

导弹质心运动学

[x˙y˙z˙]=[vxvyvz](4)\left [ \begin{aligned} \dot{x} \\ \dot{y} \\ \dot{z} \end{aligned} \right ] = \left [ \begin{aligned} v_{x} \\ v_{y} \\ v_{z} \end{aligned} \right ] \tag{4} ⎣⎢⎡x˙y˙z˙⎦⎥⎤=⎣⎢⎡vxvyvz⎦⎥⎤(4)

弹体坐标系中的标量姿态运动学方程

导弹姿态动力学

dωTdt=I−1⋅(Mst+Md+Mp+Mc+Mg)−I−1⋅[ωT×(I⋅ωT)](5)\begin{aligned} \frac{d \boldsymbol{\omega}_T}{dt} &= \boldsymbol{I}^{-1} \cdot (\boldsymbol{M}_{st} + \boldsymbol{M}_{d} + \boldsymbol{M}_{p} + \boldsymbol{M}_{c} + \boldsymbol{M}_{g} ) - \boldsymbol{I}^{-1} \cdot [\boldsymbol{\omega}_T \times (\boldsymbol{I} \cdot \boldsymbol{\omega}_T)] \end{aligned} \tag{5} dtdωT=I−1⋅(Mst+Md+Mp+Mc+Mg)−I−1⋅[ωT×(I⋅ωT)](5)

导弹姿态运动学

姿态角参数与角速率之间的关系。当采用惯性参考系的姿态角参数时，基于2-3-1转序的运动学方程为：
{ϕ˙T=ωTy1sinγT+ωTz1cosγTψ˙T=(ωTy1cosγT−ωTz1sinγT)/cosϕTγ˙T=ωTx1−ψ˙TsinϕT(6)\left \{ \begin{aligned} \dot{\phi}_T &= \omega_{Ty1} sin \gamma_T + \omega_{Tz1} cos \gamma_T \\ \dot{\psi}_T &= (\omega_{Ty1} cos \gamma_T - \omega_{Tz1} sin \gamma_T) / cos \phi_T \\ \dot{\gamma}_T &= \omega_{Tx1} - \dot{\psi}_T sin \phi_T \end{aligned} \right. \tag{6} ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ϕ˙Tψ˙Tγ˙T=ωTy1sinγT+ωTz1cosγT=(ωTy1cosγT−ωTz1sinγT)/cosϕT=ωTx1−ψ˙TsinϕT(6)

当采用相对姿态角参数和角速率之间的关系时：
{ϕ˙=ωy1sinγ+ωz1cosγψ˙=(ωy1cosγ−ωz1sinγ)/cosϕγ˙=ωx1−ψ˙sinϕ(7)\left \{ \begin{aligned} \dot{\phi} &= \omega_{y1} sin \gamma + \omega_{z1} cos \gamma \\ \dot{\psi} &= (\omega_{y1} cos \gamma - \omega_{z1} sin \gamma) / cos \phi \\ \dot{\gamma} &= \omega_{x1} - \dot{\psi} sin \phi \end{aligned} \right. \tag{7} ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ϕ˙ψ˙γ˙=ωy1sinγ+ωz1cosγ=(ωy1cosγ−ωz1sinγ)/cosϕ=ωx1−ψ˙sinϕ(7)

相对角速度和绝对角速度之间的关系为：
ωT=ω1+ωe(8)\boldsymbol{\omega}_T = \boldsymbol{\omega}_1 + \boldsymbol{\omega}_e \tag{8} ωT=ω1+ωe(8)

计算坐标系选取为弹体坐标系。

简化的导弹运动模型

简化假设

1）圆形地球假设

2）地球不旋转假设

3）瞬时平衡假设
瞬时平衡假设的作用就是可以忽略姿态运动方程，计算飞行器的质心运动，适用于飞行器的制导分析。
4）参数小量假设

5）对称假设

运动方程简化

在上述假设中，最重要的就是“瞬时平衡”假设。在“瞬时平衡”假设下，飞行器的主要力矩：气动力矩和控制力矩平衡，即：
{Mz1αα+Mz1δδϕ=0My1ββ+My1δδψ=0δγ=0\left \{ \begin{aligned} \boldsymbol{M}_{z1}^{\alpha} \alpha + \boldsymbol{M}_{z1}^{\delta} \delta_{\phi} &= 0 \\ \boldsymbol{M}_{y1}^{\beta} \beta + \boldsymbol{M}_{y1}^{\delta} \delta_{\psi} &= 0 \\ \delta_{\gamma} &= 0 \end{aligned} \right. ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧Mz1αα+Mz1δδϕMy1ββ+My1δδψδγ=0=0=0

控制器可以自己来设计，这里采用PID控制：
如果没有纵向和侧向制导指令，则飞行器的稳态为：
{ϕ=θ=ϕpr,δphi=α=0ψ=σ=ψpr,δψ=β=0γ=γpr\left \{ \begin{aligned} \phi &= \theta = \phi_{pr}, \delta_{phi} = \alpha = 0 \\ \psi &= \sigma = \psi_{pr}, \delta_{\psi} = \beta = 0 \\ \gamma &= \gamma_{pr} \end{aligned} \right. ⎩⎪⎨⎪⎧ϕψγ=θ=ϕpr,δphi=α=0=σ=ψpr,δψ=β=0=γpr

又因为地球是不旋转的圆球假设，则弹道坐标系下的飞行器质心运动方程为：
m[v˙vθ˙cosσ−vσ˙]=HB(α,β,ν)[Px1+Fx1cPy1+Fy1cPz1+Fz1c]+HV(ν)[RxvRyvRzv]+HG(θ,σ)mgr[xy+Rz]m \left [ \begin{array}{c} \dot{v} \\ v \dot{\theta} cos \sigma \\ -v \dot{\sigma} \end{array} \right ] = \boldsymbol{H}_B (\alpha, \beta, \nu) \left [ \begin{array}{c} P_{x1} + F_{x1c} \\ P_{y1} + F_{y1c} \\ P_{z1} + F_{z1c} \end{array} \right ] + \boldsymbol{H}_V (\nu) \left [ \begin{array}{c} R_{xv} \\ R_{yv} \\ R_{zv} \end{array} \right ] + \boldsymbol{H}_G (\theta, \sigma) m \frac{g}{r} \left [ \begin{array}{c} x \\ y + R \\ z \end{array} \right ] m⎣⎡v˙vθ˙cosσ−vσ˙⎦⎤=HB(α,β,ν)⎣⎡Px1+Fx1cPy1+Fy1cPz1+Fz1c⎦⎤+HV(ν)⎣⎡RxvRyvRzv⎦⎤+HG(θ,σ)mrg⎣⎡xy+Rz⎦⎤

利用运动参数小量假设，进一步假设控制力、攻角α\alphaα、侧滑角β\betaβ为小量，并忽略引力交叉项，则飞行器质心运动方程可简化为两组方程：纵向运动方程和侧向运动方程。

纵向运动方程

{mv˙=Px1+Fx1c+...mvθ˙=(Px1+Fx1c)α+...x˙=vcosθy˙=vsinθϕ=θ+αδϕ=a0ϕ(ϕ−ϕpr)+kϕuϕα=Aϕ[(ϕpr−θ)−kϕa0ϕuϕ]r=x2+(y+R)2+z=x2+(y+R)2h=r−Rm=m0−∫m˙dt\left \{ \begin{aligned} m \dot{v} &= P_{x1} + F_{x1c} + ... \\ mv \dot{\theta} &= (P_{x1}+F_{x1c}) \alpha + ... \\ \dot{x} &= v cos \theta \\ \dot{y} &= v sin \theta \\ \phi &= \theta + \alpha \\ \delta_{\phi} &= a^{\phi}_0 (\phi - \phi_{pr}) + k_{\phi} u_{\phi} \\ \alpha &= A_{\phi} \left[ (\phi_{pr} - \theta) - \frac{k_{\phi}}{a_0^{\phi}} u_{\phi} \right] \\ r &= \sqrt{x^2 + (y + R)^2 + z} = \sqrt{x^2 + (y + R)^2} \\ h &= r - R \\ m &= m_0 - \int{\dot{m}} dt \end{aligned} \right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧mv˙mvθ˙x˙y˙ϕδϕαrhm=Px1+Fx1c+...=(Px1+Fx1c)α+...=vcosθ=vsinθ=θ+α=a0ϕ(ϕ−ϕpr)+kϕuϕ=Aϕ[(ϕpr−θ)−a0ϕkϕuϕ]=x2+(y+R)2+z=x2+(y+R)2=r−R=m0−∫m˙dt

侧向运动方程

{mvσ˙=(Px1+Fx1c)β−Rzv−...z˙=−vσψ=σ+βδψ=a0ψ(ψ−ψpr)+kHuHβ=Aψ[(ψpr−σ)−kHa0ψuH]\left \{ \begin{aligned} mv \dot{\sigma} &= (P_{x1} + F_{x1c}) \beta - R_{zv} - ... \\ \dot{z} &= -v \sigma \\ \psi &= \sigma + \beta \\ \delta_{\psi} & = a_0^{\psi} (\psi - \psi_{pr}) + k_H u_H \\ \beta &= A_{\psi} \left[ (\psi_{pr} - \sigma) - \frac{k_{H}}{a_0^{\psi}} u_H \right] \end{aligned} \right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧mvσ˙z˙ψδψβ=(Px1+Fx1c)β−Rzv−...=−vσ=σ+β=a0ψ(ψ−ψpr)+kHuH=Aψ[(ψpr−σ)−a0ψkHuH]
具体见文献[1]和[2]。

更简化的导弹运动模型（线性化）

简化假设

运动方程线性化

纵向线性运动方程

侧向线性运动方程

关于导弹建模的一点思考

如果是导弹模型只是所做研究的基础模型，那么只需要一些简化的导弹数学模型即可。

在建模过程中，实际上就是在惯性系中对f=maf = maf=ma和M=IdωdtM = I \frac{d \omega}{dt}M=Idtdω中的力和力矩进行细化描述，在非惯性系中还要增加附加哥氏力/力矩和附加相对力/力矩。为了方便，这些力和力矩都需要在相应的坐标系（描述坐标系）中进行描述，然后再通过转换矩阵变到计算坐标系中进行计算。

参考文献

陈克俊, 刘鲁华, 孟云鹤. 远程火箭飞行动力学与制导[M]. 国防工业出版社, 2014.
曾庆华, 郭振云. 无人飞行控制技术与工程[M]. 国防工业出版社, 2011.
黄圳圭. 航天器姿态动力学[M]. 国防科技大学出版社, 1997.

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