笔记(待续)-动力学逆问题相关基础知识

本文的相关知识点均来自梅凤翔教授的《动力学逆问题》这本书^[1]，有幸拜读，并做一些笔记。

动力学逆问题的定义

质点动力学第一类问题： （逆问题）已知质点的运动规律，求作用在质点上的力。

质点动力学第二类问题： （正问题）已知作用在质点上的力，求质点的运动规律。

动力学逆问题的基本解法： 将已知运动规律对时间ttt求导数，再用牛顿第二定律来求解。

动力学逆问题的定义： 确定加在力学系统上的主动力和力矩、系统的参数以及加在其上的约束问题，系统在这些力、力矩、参数及约束下，按给定性质的运动时系统的一个可能的运动。

力学系统的状态用广义坐标矢量q[q1,q2,⋯,qn]\boldsymbol{q} [q_1, q_2, \cdots, q_n]q[q1,q2,⋯,qn]和广义速度矢量q˙[q˙1,q˙2,⋯,q˙n]\dot{\boldsymbol{q}} [\dot{q}_1, \dot{q}_2, \cdots, \dot{q}_n]q˙[q˙1,q˙2,⋯,q˙n]来确定，运动性质用如下所示的流形来给定：
Ω:ωμ(q,q˙,t)=cμ(μ=1,2,⋯,m≤n)(1.1)\varOmega: \omega_{\mu} (\boldsymbol{q}, \dot{\boldsymbol{q}}, t) = c_{\mu} \quad (\mu = 1, 2, \cdots, m \leq n) \tag{1.1} Ω:ωμ(q,q˙,t)=cμ(μ=1,2,⋯,m≤n)(1.1)

其中某些常数cμc_{\mu}cμ可以是000。

动力学逆问题的三种基本提法

一、运动方程的建立

按给定的积分流形：
Ω:ωμ(q,q˙,t)=cμ(μ=1,2,⋯,m≤n)\varOmega: \omega_{\mu} (\boldsymbol{q}, \dot{\boldsymbol{q}}, t) = c_{\mu} \quad (\mu = 1, 2, \cdots, m \leq n) Ω:ωμ(q,q˙,t)=cμ(μ=1,2,⋯,m≤n)

来构造方程组：
q¨ν=Qν(q,q˙,t)(ν=1,2,⋯,n)\ddot{q}_{\nu} = Q_{\nu} (\boldsymbol{q}, \dot{\boldsymbol{q}}, t) \quad (\nu = 1, 2, \cdots, n) q¨ν=Qν(q,q˙,t)(ν=1,2,⋯,n)

二、运动方程的修改

给定方程组：
q¨ν=Q0ν(q,q˙,ν,t)(ν=1,2,⋯,n)\ddot{q}_{\nu} = Q_{0 \nu} (\boldsymbol{q}, \dot{\boldsymbol{q}}, \boldsymbol{\nu}, t) \quad (\nu = 1, 2, \cdots, n) q¨ν=Q0ν(q,q˙,ν,t)(ν=1,2,⋯,n)

来确定矢量函数ν[ν1(q,q˙,t),⋯,νk(q,q˙,t)]\boldsymbol{\nu} [\nu_1 (\boldsymbol{q}, \dot{\boldsymbol{q}}, t), \cdots, \nu_k (\boldsymbol{q}, \dot{\boldsymbol{q}}, t)]ν[ν1(q,q˙,t),⋯,νk(q,q˙,t)]。

三、运动方程的封闭

给定方程组：
q¨ν=Q0ν(q,q˙,u,u˙,t)(ν=1,2,⋯,n)\ddot{q}_{\nu} = Q_{0 \nu} (\boldsymbol{q}, \dot{\boldsymbol{q}}, \boldsymbol{u}, \dot{\boldsymbol{u}}, t) \quad (\nu = 1, 2, \cdots, n) q¨ν=Q0ν(q,q˙,u,u˙,t)(ν=1,2,⋯,n)

按给定的积分流形：
Ω:ωμ(q,q˙,t)=cμ(μ=1,2,⋯,m≤r)\varOmega: \omega_{\mu} (\boldsymbol{q}, \dot{\boldsymbol{q}}, t) = c_{\mu} \quad (\mu = 1, 2, \cdots, m \leq r) Ω:ωμ(q,q˙,t)=cμ(μ=1,2,⋯,m≤r)

来建立封闭方程组：
u¨ρ=Uρ(q,q˙,u,u˙,t)(ρ=1,2,⋯,r)\ddot{u}_{\rho} = U_{\rho} (\boldsymbol{q}, \dot{\boldsymbol{q}}, \boldsymbol{u}, \dot{\boldsymbol{u}}, t) \quad (\rho = 1, 2, \cdots, r) u¨ρ=Uρ(q,q˙,u,u˙,t)(ρ=1,2,⋯,r)

运动控制理论中的逆问题

稳定力学系统的解析构造问题是经典的动力学逆问题，即确定系统参数和作用于系统上的广义力，使得事先给定的可能运动（未受干扰），当有初始常作用和参数扰动时，对某些事先指定的运动品质指标来说是稳定的。

一、稳定性理论相关基本概念

研究一个质点系，其运动方程为：
Fj(qi,q˙i,q¨i,t)=0(i,j=1,2,⋯,n)(3.1)F_j (q_i, \dot{q}_i, \ddot{q}_i, t) = 0 \quad (i,j = 1, 2, \cdots, n) \tag{3.1} Fj(qi,q˙i,q¨i,t)=0(i,j=1,2,⋯,n)(3.1)

式中，qiq_iqi为广义坐标，q˙i\dot{q}_iq˙i为广义速度，q¨i\ddot{q}_iq¨i为广义加速度。假设已知系统(3.1)(3.1)(3.1)的一个特解：
qj=φj(t;qi0,q˙i0,t0)(3.2)q_j = \varphi_j (t; q_{i0}, \dot{q}_{i0}, t_0) \tag{3.2} qj=φj(t;qi0,q˙i0,t0)(3.2)

并满足初始条件：
φj(t;qi0,q˙i0,t0)∣t=t0=qj0φ˙j(t;qi0,q˙i0,t0)∣t=t0=q˙j0(3.3)\begin{aligned} \varphi_j (t; q_{i0}, \dot{q}_{i0}, t_0) | _{t = t_0} = q_{j0} \\ \dot{\varphi}_j (t; q_{i0}, \dot{q}_{i0}, t_0) | _{t = t_0} = \dot{q}_{j0} \end{aligned} \tag{3.3} φj(t;qi0,q˙i0,t0)∣t=t0=qj0φ˙j(t;qi0,q˙i0,t0)∣t=t0=q˙j0(3.3)

这个解描述了系统与初始广义坐标qi0q_{i0}qi0与初始广义速度q˙i0\dot{q}_{i0}q˙i0相应的一个可能运动，称为未扰运动（即系统的期望状态）。系统所有其他的可能运动称为扰动运动。这两种运动都是系统在同样的广义力和参数下的可能运动。

在一般情况下，运动的品质指标可以表示为广义坐标、广义速度和时间的函数，称为比较函数，记为：
Ps(q,q˙,t)(s=1,2,⋯,n)(3.4)P_s (\boldsymbol{q}, \dot{\boldsymbol{q}}, t) \quad (s = 1, 2, \cdots, n) \tag{3.4} Ps(q,q˙,t)(s=1,2,⋯,n)(3.4)

（待续）

二、构造稳定系统问题的提法

aaa

（待续）

三、构造稳定系统问题的解法

aaa

（待续）

参考文献

梅凤翔. 动力学逆问题 [M]. 国防工业出版社, 2009.
机械手动力学正问题和逆问题是什么？