计算机组成原理—

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导学
进制运算
- 二进制表示
二进制数据
- 有符号/无符号
- 表示法
二进制运算
- 表示
- 运算
小结

导学

这一篇主要介绍数据运算

进制运算

进位制是一种计数方式，也称进位计数法
使用的数字符号的数目称为此进制的基数或底数，例如十进制0~9
常见的还有二进制、八进制、十六进制（都是计算机喜欢的）

二进制表示

看下面两个例子：
- 注意是从0开始的
二进制转十进制：按权展开法
- 和上面的例子类似，基数的幂按位相乘再相加
- 小数同理：从-1开始
十进制转二进制：重复相除法，除2取余
- 对小数，则要用重复相乘法：乘2取整

二进制数据

有符号数、无符号数，反码/原码/补码

有符号/无符号

有符号数：用0表示正，1表示负
无符号数：没有符号位，可视为非负数

表示法

二进制的原码表示：
- 十进制转成二进制后即是有符号源码
- 这样表示有两个问题：0有两种00和10即+0和-0
- 两个符号不同的操作数运算尤其复杂
补码表示法
- 由于原码不好用，于是出现了正数代替负数、加法代替减法的补码
- 但是，注意，我们这里先看如何表示，不要关注运算！如果想提前理解：推荐链接
- 补码定义：
- 乍一看挺难过的吧？没事，看个例子：最前面的是符号位
- 这里的n为什么是4？这个公式的原理是什么？在运算部分解释
反码表示法
- 为了进一步揭示规律，方便后面的运算，引入反码：
- 还是看个例子，套用公式：
总结一下，直接上结论：
- 正数三同（原补反相同）
- 负数：
  - 原码—>补码：符号位不变，取反+1
  - 原码—>反码：符号位不变，取反
  - 反码—>补码：+1
以上皆是整数，对于小数，我们主要看补码表示法
- 小数反码定义：
- 看个例子：

二进制运算

定点数、浮点数和运算
首先，不要混乱；
- 前面是整数和小数的表示问题
- 这的定点数和浮点数都包括了整数和小数，都是针对运算提出的概念；但二者适用场景不同
这里解决前面的问题，为什么补码能够简化运算，也要考虑计算机如何存储并计算

表示

定点数的表示：
- 小数点固定在某个位置的数
- 看个例子：
- 如果不是纯的呢？需要乘上比例因子满足格式：
浮点数的表示
- 有的数据范围很大，定点数难以表达
- 借助于科学计数法理解浮点数的表示格式：
  - 这里的 r 一般取2
  - 尾数必须是纯小数
- 看个例子：
  - 注：阶码数值是二进制表示
- 浮点数的表示范围：
- 根据上面的范围，得到上溢和下溢区间：
  - 单精度浮点数：4字节表示，即总共有32比特位存储这些阶码、尾数、符号
  - 双精度浮点数：8字节表示（double）
  - 后面会介绍溢出处理（要考）
规格化
- 先来看科学计数法的要求：
- 类比之，浮点数要求尾数最高位必须为1，且纯小数，观察下面的例子：
- 规格化时，根据浮点数的组成对号入座，无需将符号位加入尾数和阶码，数值不够补0
- 浮点数必须要规格化后才能参与运算，一般流程：十进制数—>原码—>规格化
- 后面会发现，尾数用补码运算
对比
- 浮点数在范围、精度、溢出处理、编程等方面优于定点数
- 定点数在运算规则、成本、速度等方面优于浮点数

运算

定点数加法
- 规则如下：
- 数值位和符号位一起计算，并将产生的进位丢掉
- 看两个例子：
- 关键：符号位参与运算
- 用双符号位法判断溢出：进位同样丢弃，符号相异表示溢出
定点数减法
- 减法变加法：
- 看个例子：
- 补码的相反数：连同符号位，取反+1
浮点数加减法
- 和浮点数的表示类似，有具体的步骤规则：
- 对阶：阶码按小阶看齐大阶的原则：
  - 舍弃最后两位，这个舍的问题后面会细说
  - 尾数用补码运算，原码表示；当然，补码表示也可！
- 尾数求和：
- 尾数规格化：
  - 左规：不满足下面的格式时
  - 左规可能进行多次（多次移位）
  - 上面的例子不满足格式，左规如下：
  - 右规：双符号位不一致时，进行右移操作（只一次），需要考虑舍入问题：
  - 小结：左移补0，右移补1/0（和剩下的符号位一致），阶码改变
- 溢出判断：和定点数不同，浮点数双符号位不同不一定溢出，经过上面的尾数规格化之后根据阶码双符号位判断
  - 阶码符号位一致则未溢出
浮点数运算小结：
- 以上步骤都是程序化，总结如下：
浮点数乘除法：（了解即可，考的很少）
- 乘法规则：阶码相加，尾数相乘
- 除法规则：阶码相减，尾数相除
- 同样可分为：阶码运算、尾数运算、尾数规格化、舍入和溢出判断

小结

本篇主要介绍了二进制的表示和运算，规则还是要记的
第一次接触很容易混乱，但把握住一点：任何表示方法主要是为了机器运算的方便，从这一点出发可能会更容易理解这些规则
对比存储器的结构便可知其中的原理，最后再解释一下补码的道理：
- 以-11为例，先不考虑符号，二进制表示为1011，逐位求反得0100
- 1011+0100=1111，而1111+1=10000（4位二进制数的模）
- 相当于4位寄存器，最大能表示的数是15，此时+1就要全部清零进位
- 结论：不管几位二进制数，取反后与原码相加再+1都会得到模
- OK，补码代替原码计算，减法变加法，会溢出，模掉溢出部分就可以得到最终计算值，这就是底层原理
- 可以将它理解成一个时钟，用模运算来轮回转化
- 再来考虑符号位，结论是：符号位是计算过程中得到的规律（0表正，1表负），可以当成是数学之美吧！
下一篇开始实现之前提到的重要算法

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计算机组成原理——篇三

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