一，运算量的比较

N点DFT共需要N^ 2次复数乘法和N(N-1)次复数加法，当N很大时，计算量很大。
N点FFT, N = 2 M N=2^M N=2M,进行M次分解，构成了从x(n)到X(k)的M级迭代计算，每级由N/2个蝶形运算组成，完成一个蝶形计算需一次乘法和两次复数加法。
M级运算总的复数乘次数为：
C M = N / 2 ∗ M = N / 2 ∗ l o g 2 N C_M=N/2*M=N/2*log_2N CM=N/2∗M=N/2∗log2N
复数加次数为：
C A = N ∗ M = N ∗ l o g 2 N C_A=N*M=N*log_2N CA=N∗M=N∗log2N
当N远大于1时，FFT的运算量远小于DFT。
例如当 N = 2 10 N=2^{10} N=210=1024时
N 2 N 2 l o g 2 N = 1048576 5120 = 204.8 \frac{N^2}{\frac{N}{2}log_2N}=\frac{1048576}{5120}=204.8 2Nlog2NN2=51201048576=204.8
这样就使运算效率提高200多倍。

二，程序运算时间比较

首先计算进行DFT所需时间，程序如下：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include<math.h>
#include<time.h>#define pi 3.1415926535int N;
typedef struct
{double real,imag;
} complex;//复数结构体，定义实部，虚部complex dft_out[9000];//用于存储dft计算结果
complex dft_mid[9000];//用于存储实部和虚部计算的值
double Amplitude[9000];//幅值
int main(int argc, char *argv[])
{N = atoi(argv[1]);  //命令行参数argv[1]为输入的N值，可以通过输入，控制N的值int n,k;double f;double time_start,time_end;time_start=clock();   //开始计时for(k=0; k<N; k++){for(n=0; n<N; n++){f=0.6*sin(2*pi*500*n)+0.6*sin(2*pi*50*n);//输入函数dft_mid[n].real=f*cos(2*pi*n*k/N);//实部dft_mid[n].imag=f*sin(2*pi*n*k/N);//虚部dft_out[k].real+=dft_mid[n].real;//对每一个点的实部求和dft_out[k].imag+=dft_mid[n].imag;//对每一个点的虚部求和}Amplitude[k]=sqrt(dft_out[k].real*dft_out[k].real+dft_out[k].imag*dft_out[k].imag);//计算幅值printf("%d  %f\n",k,Amplitude[k]);//打印计算结果}time_end=clock();    //计时结束printf("进行DFT运算时间为：%f ms\n",time_end-time_start);  //输出所需时间}

运行结果：

FFT计算时间，代码如下：

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <E:\tcc\daima\fft\kfft.c>
#include<time.h>#define PI 3.1415926535 //定义宏变量PIint main()
{ int i,j;double time_start,time_end;//定义计时的变量double pr[64],pi[64],fr[64],fi[64],t[64];//pr表示采样数据的实部，pi表示采样数据的虚部，fr表示离散傅里叶变换结果的实部，fi表示离散傅里叶变换结果的虚部。for (i=0; i<=63; i++)  //生成输入信号{ pr[i]=0.6*sin(2*PI*500*i)+0.6*sin(2*PI*50*i); pi[i]=0.0; //依次将值赋值给pr，pi赋值为0}time_start=clock();   //开始计时kfft(pr,pi,64,6,fr,fi,0,1);  //调用FFT函数time_end=clock();    //计时结束for (i=0; i<64; i++){ printf("%d\t%lf\n",i,pr[i]); //输出结果}printf("进行FFT运算时间为：%.10f ms\n",time_end-time_start);  //输出所需时间
}

运行结果：

由结果可知，进行DFT运算时间远大于进行FFT所需时间，FFT运算效率明显高于DFT。

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