如何直观理解四元数

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2、记录一下

a) 四元数是用来干什么的?
目前我的理解是一个四维位空间的旋转因子，与二维空间的旋转因子i(虚数单位)一样。
b) 如何理解
1)首先从二维坐标开始(实数+几何)，在此时二维坐标也可以看作一个复平面
在上述的图片当中2.35+3.14i,这个向量相当于乘上一个实数并旋转了4+5i这个向量的角度(使用反余弦函数可以求解)。

也就是说在一个二维坐标平面当中(复平面)，横坐标表示实数a，纵坐标表示虚数b，那么找到一个单位圆(实数为1、虚数单位也为1)这个时候在数字的左边乘虚数i就相当于逆时针旋转90度。在投影线上相当于从0~ -i，从i~ 正无穷，从负无穷~-i,再从-i ~ 0。

这里讲解了一个概念----球极投影:

在二维平面内从-1这个点出发画到单位圆上所有点的射线，射线和纵坐标交点为该点在坐标轴上的投影，越靠近-1点的半圆在坐标轴上的投影就越趋向无穷远。
在三维空间坐标系上也是使用这种进行推理，就可以将原来的球面按照-1开始向整个球面发射射线取j、i两个坐标轴，展开，会得到两个直线。
2)在这个三维坐标里存在这样的旋转规律:
1左乘j就在x-j的平面内做旋转
1左乘i就在x-i的平面左旋转
i左乘j就在i-j的平面旋转
区别是旋转的方向不同
3)四元数就是在一个实数加三个虚数

在四元数当中的虚数关系

同样的四元数所在的空间就是在三维空间上再添加一个维度，三维空间是一个单位球面，此时为一个单位球体。
以一个四元数左乘i为例，相当于在i轴上进行从0到i到正无穷再到负无穷到-i在到0;在与i轴垂直的平面上进行单位圆的旋转(右手定理:拇指指向i正向四指指向为单位圆旋转方向)，而四元数的直观则是超级球面沿着垂直i的面进行外翻，一个轮回结束，也就是乘四次i之后球面两次外翻恢复原状。

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2021.1.19 如何直观理解四元数

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2、记录一下

这里讲解了一个概念----球极投影:

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