原文地址:http://www.3dgep.com/understanding-quaternions/

正文

在这篇文章中我会尝试用简单的方式去解释四元数的概念，即用可视化的方式解释四元数以及几种对四元数的操作。我将把矩阵、欧拉角和四元数放在一起比较，并解释什么时候该用四元数、什么时候该用欧拉角或矩阵。

内容结构

• 介绍
• 复数
  • 复数的加减
  • 复数的系数缩放
  • 复数的积
  • 复数的平方
  • 共轭复数
  • 复数的绝对值
  • 两复数的商
• i的幂
• 复数平面
  • 旋转数（Rotors)
• 四元数
  • 作为有序数的四元数
  • 四元数的加减
  • 四元数的积
  • 实四元数
  • 四元数的系数缩放
  • 纯四元数
  • 四元数的加法形式
  • 单位四元数
  • 四元数的二元形式
  • 共轭四元数
  • 四元数范数
  • 四元数规范化
  • 四元数的逆
  • 四元数的点积
• 旋转
• 四元数插值
  • SLERP
    • 四元数的差
    • 四元数的幂运算
    • 2个四元数的分数差
    • 注意事项
  • SQUARD
• 总结
• 下载Demo

在计算机图形学中，我们使用转换矩阵来表示空间中的一个位置以及朝向。一个转换矩阵还可以表示对一个目标的缩放(scale)或错切(shear)等。 我们可以把转换矩阵想象成一个空间，当你用这个矩阵乘以向量、点（甚至矩阵）后， 你就把向量、点、矩阵转换进这个空间了。

在这篇文章中，我不会讨论转换矩阵的细节。你可以查看我前面的文章，文章中描述了转换矩阵的细节。

在这篇文章中，我想要讨论一个可替代的方案，即用四元数来描述空间里的物体的朝向。

四元数的概念是由爱尔兰数学家Sir William Rowan Hamilton发明的（1843年，都柏林）。Hamilton当时正和他的妻子前往爱尔兰皇家研究院，当他从Brougham桥通过皇家运河时，他领悟到了一个激动人心的东西，并立刻把它刻在桥的一个石头上：

i2=j2=k2=ijk=−1i2=j2=k2=ijk=−1

William Rowan Hamilton Plaque on Broome Bridge on the Royal Canal commemorating his discovery of the fundamental formula for quaternion multiplication.

在我们能够完全理解四元数之前，我们必须先知道四元数是怎么来的。四元数的根源其实是复数。

除了知名的数集（自然数、整数、实数、分数）之外，复数系统引入了一个新的数集——虚数。虚数的发明是为了解决一些特定的无解的方程，例如：x2+1=0x2+1=0要解决这个等式，必须让x2=−1x2=−1，这当然是不行的，因为任意实数的平方都是非负数。

一般而言，数学家是不能忍受一个等式是无解的。于是，一个新的术语被发明了，它就是虚数，一个可以解决上面这个等式的数。

虚数有这样的形式：

i2=−1i2=−1

不要为这个术语较真，因为逻辑上这个数是不存在的。只要知道i是一个平方等于-1的东西即可。

虚数的集合可以用II来表示。

复数的集合CC是一个实数和一个虚数的和，形式如下：

z=a+bi a,b∈R, i2=−1z=a+bi a,b∈R, i2=−1

可以认为所有实数都是b=0的复数、所有虚数都是a=0的复数。

加法：

(a1+b1i)+(a2+b2i)=(a1+a2)+(b1+b2)i(a1+b1i)+(a2+b2i)=(a1+a2)+(b1+b2)i

减法：

(a1+b1i)−(a2+b2i)=(a1−a2)+(b1−b2)i(a1+b1i)−(a2+b2i)=(a1−a2)+(b1−b2)i

λ(a1+b1i)=λa1+λb1iλ(a1+b1i)=λa1+λb1i

z1=(a1+b1i)z1=(a1+b1i)z2=(a2+b2i)z2=(a2+b2i)z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=a1a2+a1b2i+b1a2i+b1b2i2z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=a1a2+a1b2i+b1a2i+b1b2i2z1z2=(a1a2−b1b2)+(a1b2+b1a2)iz1z2=(a1a2−b1b2)+(a1b2+b1a2)i

z=(a+bi)z=(a+bi)z2=(a+bi)(a+bi)z2=(a+bi)(a+bi)z2=(a2−b2)+2abiz2=(a2−b2)+2abi

复数的共轭就是指把复数的虚数部分变成负的。共轭复数的符号是¯zz¯或z∗z∗。

z=(a+bi)z=(a+bi)

z∗=(a−bi)z∗=(a−bi)

复数和它的共轭复数的乘积是：

zz∗=(a+bi)(a−bi)=a2−abi+abi+b2=a2+b2zz∗=(a+bi)(a−bi)=a2−abi+abi+b2=a2+b2

我们使用共轭复数来计算复数的绝对值：

z=(a+bi)z=(a+bi)

|z|=√zz∗=√(a+bi)(a−bi)=√a2+b2|z|=zz∗=(a+bi)(a−bi)=a2+b2

z1=(a1+b1i)z1=(a1+b1i)z2=(a2+b2i)z2=(a2+b2i)z1z2=a1+b1ia2+b2i=(a1+b1i)(a2−b2i)(a2+b2i)(a2−b2i)z1z2=a1+b1ia2+b2i=(a1+b1i)(a2−b2i)(a2+b2i)(a2−b2i)=a1a2−a1b2i+b1a2i−b1b2i2a22+b22=a1a2−a1b2i+b1a2i−b1b2i2a22+b22

=a1a2+b1b2a22+b22+b1a2−a1b2a22+b22i=a1a2+b1b2a22+b22+b1a2−a1b2a22+b22i

如果ii的平方等于-1，那么ii的n次幂也应该存在：

i0=1i0=1i1=ii1=ii2=−1i2=−1i3=ii2=−ii3=ii2=−ii4=i2i2=1i4=i2i2=1i5=ii4=ii5=ii4=ii6=ii5=i2=−1i6=ii5=i2=−1

如果按照这个顺序写下去，会出现这样一个模式： (1,\mathbf i,-1,-\mathbf i,1,...)

一个类似的模式也出现在递增的负数幂：

i0=1i0=1i−1=−ii−1=−ii−2=−1i−2=−1i−3=ii−3=ii−4=1i−4=1i−5=−ii−5=−ii−6=−1i−6=−1

你可能已经在数学里头见过类似的模式，但是是以（x,y,-x,-y,x,...)的形式，这是在2D笛卡尔平面对一个点逆时针旋转90度时生成的；（x,-y,-x,y,x,...)则是在2D笛卡尔平面对一个点顺时针旋转90度时生成的。

我们也能够把复数映射到一个2D网格平面——复数平面，只需要把实数映射到横轴、虚数映射到纵轴。

如前面的序列所示，我们可以认为，对一个复数乘以i，这个复数就在复数平面上旋转了90度。

让我们看看这是不是真的。我们随机地在复数平面上取一个点：

p=2+ip=2+i

p乘以i后得到q：q=pi=(2+i)i=2i+i2=−1+2iq=pi=(2+i)i=2i+i2=−1+2i

q乘以i后得到r：r=qi=(−1+2i)i=−i+2i2=−2−ir=qi=(−1+2i)i=−i+2i2=−2−i

r乘以i后得到s：s=ri=(−2−i)i=−2i−i2=1−2is=ri=(−2−i)i=−2i−i2=1−2i

s乘以i后得到t：t=si=(1−2i)i=i−2i2=2+it=si=(1−2i)i=i−2i2=2+i

t刚好是开始的p。如果我们把这些复数放到复数平面上，就得到下面的图：

我们也可以按顺时针方向旋转，只需要把上面的乘数i改成-i。

我们也可以在复数平面上进行任意角度的旋转，只需要定义下面这个复数：q=cosθ+isinθq=cosθ+isinθ

任意的复数乘以q：

p=a+bip=a+biq=cosθ+isinθq=cosθ+isinθpq=(a+bi)(cosθ+isinθ)pq=(a+bi)(cosθ+isinθ)a′+b′i=acosθ−bsinθ+(asinθ+bcosθ)ia′+b′i=acosθ−bsinθ+(asinθ+bcosθ)i

也可以写成矩阵的形式：

[a′−b′b′a′]=[cosθ−sinθsinθcosθ][a−bba][a′−b′b′a′]=[cosθ−sinθsinθcosθ][a−bba]

这也是一个在复数平面绕原点逆时针旋转任意点的方法。（译注：这句话应该是在说旋转矩阵）

了解了复数系统和复数平面后，我们可以额外增加2个虚数到我们的复数系统，从而把这些概念拓展到3维空间。

四元数的一般形式：

q=s+xi+yj+zk   s,x,y,z∈Rq=s+xi+yj+zk   s,x,y,z∈R

上面的公式是根据Hamilton的著名的表达式得到的：

i2=j2=k2=ijk=−1i2=j2=k2=ijk=−1

以及：

ij=k   jk=i   ki=jij=k   jk=i   ki=jji=−k   kj=−i   ik=−jji=−k   kj=−i   ik=−j

你可能已经注意到了，i、j、k之间的关系非常像笛卡尔坐标系下单位向量的叉积规则：

x×y=z   y×z=x   z×x=yx×y=z   y×z=x   z×x=yy×x=−z   z×y=−x   x×z=−yy×x=−z   z×y=−x   x×z=−y

Hamilton自己也发现i、j、k虚数可以被用来表达3个笛卡尔坐标系单位向量i、j、k，并且仍然保持有虚数的性质，也即i2=j2=k2=−1i2=j2=k2=−1。

（\mathbf i \mathbf j, \mathbf j \mathbf k, \mathbf k \mathbf i这几个性质的可视化）

上图展示了如何用i、j、k作为笛卡尔坐标系的单位向量。

我们可以用有序对的形式，来表示四元数：[s,v]   s∈R,v∈R3[s,v]   s∈R,v∈R3

其中的v，也可以用它各自独立的3个分量表示：

q=[s,xi+yj+zk]   s,x,y,z∈Rq=[s,xi+yj+zk]   s,x,y,z∈R

使用这种表示法，我们可以更容易地展示四元数和复数之间的相似性。

和复数类似，四元数也可以被加减：

qa=[sa,a]qa=[sa,a]qb=[sb,b]qb=[sb,b]qa+qb=[sa+sb,a+b]qa+qb=[sa+sb,a+b]qa−qb=[sa−sb,a−b]qa−qb=[sa−sb,a−b]

我们也可以表示四元数的乘积：

qaqb=[sa,a][sb,b]qaqb=[sa,a][sb,b]=(sa+xai+yaj+zak)(sb+xbi+ybj+zbk)=(sa+xai+yaj+zak)(sb+xbi+ybj+zbk)=(sasb−xaxb−yayb−zazb)=(sasb−xaxb−yayb−zazb)+(saxb+sbxa+yazb−ybza)i+(saxb+sbxa+yazb−ybza)i+(sayb+sbya+zaxb−zbxa)j+(sayb+sbya+zaxb−zbxa)j+(sazb+sbza+xayb−xbya)k+(sazb+sbza+xayb−xbya)k

可以看到，四元数的乘积依然还是一个四元数。如果我们把虚数i、j、ki、j、k替换成有序对：

i=[0,i]   j=[0,j]   k=[0,k]i=[0,i]   j=[0,j]   k=[0,k]

以及还有[1,0] = 1，将它们代入前面的表达式，就得到了：

qaqb=(sasb−xaxb−yayb−zazb)[1,0]qaqb=(sasb−xaxb−yayb−zazb)[1,0]+(saxb+sbxa+yazb−ybza)[0,i]+(saxb+sbxa+yazb−ybza)[0,i]+(sayb+sbya+zaxb−zbxa)[0,j]+(sayb+sbya+zaxb−zbxa)[0,j]+(sazb+sbza+xayb−xbya)[0,k]+(sazb+sbza+xayb−xbya)[0,k]

再把这个表达式扩展成多个有序对的和：

qaqb=[(sasb−xaxb−yayb−zazb),0]qaqb=[(sasb−xaxb−yayb−zazb),0]+[0,(saxb+sbxa+yazb−ybza)i]+[0,(saxb+sbxa+yazb−ybza)i]+[0,(sayb+sbya+zaxb−zbxa)j]+[0,(sayb+sbya+zaxb−zbxa)j]+[0,(sazb+sbza+xayb−xbya)k]+[0,(sazb+sbza+xayb−xbya)k]

如果把后3个四元数相加，并提取公共部分，就可以把等式改写成：

qaqb=[(sasb−xaxb−yayb−zazb),0]qaqb=[(sasb−xaxb−yayb−zazb),0]+[0,sa(xbi+ybj+zbk)+sb(xai+yaj+zak)+[0,sa(xbi+ybj+zbk)+sb(xai+yaj+zak)+(yazb−ybza)i+(zaxb−zbxa)j+(xayb−xbya)k]+(yazb−ybza)i+(zaxb−zbxa)j+(xayb−xbya)k]

这个等式是2个有序对的和。第1个有序对是一个实四元数，第2个是一个纯四元数。这两个四元数也可以合并成一个：

qaqb=[(sasb−xaxb−yayb−zazb),qaqb=[(sasb−xaxb−yayb−zazb),sa(xbi+ybj+zbk)+sb(xai+yaj+zak)sa(xbi+ybj+zbk)+sb(xai+yaj+zak)+(yazb−ybza)i+(zaxb−zbxa)j+(xayb−xbya)k]+(yazb−ybza)i+(zaxb−zbxa)j+(xayb−xbya)k]

如果把下面的表达式代入上面的等式：

a=xai+yaj+zaka=xai+yaj+zakb=xbi+ybj+zbkb=xbi+ybj+zbka⋅b=xaxb+yayb+zazba⋅b=xaxb+yayb+zazba×b=(yazb−ybza)i+(zaxb−zbxa)j+(xayb−xbya)ka×b=(yazb−ybza)i+(zaxb−zbxa)j+(xayb−xbya)k

（译注：注意，第三条和第四条并不是四元数的点积和叉积，而是向量的点积和叉积）

我们就得到了：

qaqb=[sasb−a⋅b,sab+sba+a×b]qaqb=[sasb−a⋅b,sab+sba+a×b]

这就是四元数乘积的一般式。

一个实四元数是一个虚部向量为零向量的四元数：

q=[s,0]q=[s,0]

两个实四元数的乘积是另一个实四元数：

qa=[sa,0]qa=[sa,0]qb=[sb,0]qb=[sb,0]qaqb=[sa,0][sb,0]=[sasb,0]qaqb=[sa,0][sb,0]=[sasb,0]

这和2个虚部为0的复数的乘积几乎一样：

z1=a1+0iz1=a1+0iz2=a2+0iz2=a2+0iz1z2=(a1+0i)(a2+0i)=a1a2z1z2=(a1+0i)(a2+0i)=a1a2

我们也可以用一个系数（实数）去乘四元数：

q=[s,v]q=[s,v]λq=λ[s,v]=[λs,λv]λq=λ[s,v]=[λs,λv]

我们可以用实四元数与普通四元数的乘积，来确认这个等式是否正确：

q=[s,v]q=[s,v]λ=[λ,0]λ=[λ,0]λq=[λ,0][s,v]=[λs,λv]λq=[λ,0][s,v]=[λs,λv]

和实四元数相似，Hamilton也定义了纯四元数。纯四元数是s=0的四元数：

q=[0,v]q=[0,v]

也可以写成下面的形式：

q=xi+yk+zkq=xi+yk+zk

然后是2个纯四元数的乘积：

qa=[0,a]qa=[0,a]qb=[0,b]qb=[0,b]qaqb=[0,a][0,b]=[−a⋅b,a×b]qaqb=[0,a][0,b]=[−a⋅b,a×b]

我们可以把四元数写成实四元数和纯四元数的和：

q=[s,v]q=[s,v]=[s,0]+[0,v]=[s,0]+[0,v]

给定任意的向量v，我们可以把这个向量写成一个系数和一个单位方向向量的乘积：

v=v^v  v=|v|,|^v|=1v=vv^  v=|v|,|v^|=1

将这个定义和纯四元数的定义结合，就得到了：

q=[0,v]q=[0,v]=[0,v^v]=[0,vv^]=v[0,^v]=v[0,v^]

然后，我们可以定义单位四元数了，它是一个s=0、vv为单位向量的四元数：

^q=[0,^v]q^=[0,v^]

我们现在可以把单位四元数的定义和四元数的加法形式结合到一起，就创造了一种新的四元数的表示法，这种表示法和复数的表示法形似：

q=[s,v]q=[s,v]=[s,0]+[0,v]=[s,0]+[0,v]=[s,0]+v[0,^v]=[s,0]+v[0,v^]=s+v^q=s+vq^

这就给了我们一种和复数非常相似的四元数表示法：

z=a+biz=a+biq=s+v^qq=s+vq^

共轭四元数的计算，就是将四元数的虚向量取反：

q=[s,v]q=[s,v]q∗=[s,−v]q∗=[s,−v]

四元数和它的共轭四元数的乘积：

qq∗=[s,v][s,−v]qq∗=[s,v][s,−v]=[s2−v⋅(−v),−sv+sv+v×(−v)]=[s2−v⋅(−v),−sv+sv+v×(−v)]=[s2+v⋅v,0]=[s2+v⋅v,0]=[s2+v2,0]=[s2+v2,0]

回忆下复数范数的定义：

|z|=√a2+b2|z|=a2+b2zz∗=|z|2zz∗=|z|2

类似的，四元数的范数可以这样定义：

q=[s,v]q=[s,v]|q|=√s2+v2|q|=s2+v2

这也让我们可以这样表达四元数范数：

qq∗=|q|2qq∗=|q|2

利用四元数范数的定义，就可以对四元数进行规范化。要让一个四元数规范化，只需要让这个四元数去除以它的范数：

q′=q√s2+v2q′=qs2+v2

举一个例子，让我们规范化下面这个四元数：

q=[1,4i+4j−4k]q=[1,4i+4j−4k]

第一步，先计算q的范数：

|q|=√12+42+42+(−4)2|q|=12+42+42+(−4)2=√49=7=49=7

然后，q除以|q|:

q′=q|q|q′=q|q|=(1+4i+4j−4k)7=(1+4i+4j−4k)7=17+47i+47j−47k=17+47i+47j−47k

四元数的逆用q−1q−1表示。要计算四元数的逆，需要用四元数的共轭四元数去除以四元数的范数的平方：

q−1=q∗|q|2q−1=q∗|q|2

为了证明这个式子，我们先根据逆的定义，有：

qq−1=[1,0]=1qq−1=[1,0]=1

两边都左乘共轭四元数 q∗q∗ :

q∗qq−1=q∗q∗qq−1=q∗

将上文中的qq∗=|q|2qq∗=|q|2代入这个式子，得到：

|q|2q−1=q∗|q|2q−1=q∗

q−1=q∗|q|2q−1=q∗|q|2

对于单位四元数，它的范数是1，所以可以写成：

q−1=q∗q−1=q∗

和向量的点积相似，我们也可以计算2个四元数的点积，只需要将各个对应的系数相乘，然后相加:

q1=[s1,x1i+y1j+z1k]q1=[s1,x1i+y1j+z1k]q2=[s2,x2i+y2j+z2k]q2=[s2,x2i+y2j+z2k]q1⋅q2=s1s2+x1x2+y1y2+z1z2q1⋅q2=s1s2+x1x2+y1y2+z1z2

我们也可以利用四元数点积，来计算四元数之间的角度差：

cosθ=s1s2+x1x2+y1y2+z1z2|q1||q2|cosθ=s1s2+x1x2+y1y2+z1z2|q1||q2|

对于单位四元数，我们可以简化上面的等式：cosθ=s1s2+x1x2+y1y2+z1z2cosθ=s1s2+x1x2+y1y2+z1z2

前面我们定义了一个特殊的复数：旋转数。它是用来旋转2D复数平面的点的：q=cosθ+isinθq=cosθ+isinθ

根据四元数和复数的相似性，应该有可能设计一个可以旋转3D空间的点的四元数：q=[cosθ,sinθv]q=[cosθ,sinθv]

让我们测试一下这个理论是否可靠，方法就是计算四元数q和向量p的积。第一步，我们把p写成纯四元数的形式：

p=[0,p]p=[0,p]

以及单位四元数q：

q=[s,λ^v]q=[s,λv^]

从而：

p′=qp=[s,λ^v][0,p]p′=qp=[s,λv^][0,p]=[−λ^v⋅p,sp+λ^v×p]=[−λv^⋅p,sp+λv^×p]

我们可以看到结果是一个同时有系数、有虚向量的四元数。

让我们先考虑特殊的情形：pp与^vv^正交。这种情况下，点乘部分等于0：−λ^v⋅p=0−λv^⋅p=0。所以上面的四元数就变成了纯四元数：

p′=[0,sp+λ^v×p]p′=[0,sp+λv^×p]

这时候，要使pp绕^vv^旋转，我们只需要代入s=cosθs=cosθ和λ=sinθλ=sinθ：

p′=[0,cosθp+sinθ^v×p]p′=[0,cosθp+sinθv^×p]

现在，让我们找一个例子来测试上面的公式。譬如绕z轴(就是k轴)旋转45度，那么我们的四元数q就变成：

q=[cosθ,sinθk]q=[cosθ,sinθk]=[√22,√22k]=[22,22k]

然后，选一个特殊的p，并且p要和k轴正交，譬如把p放到i轴上，也就是：p=[0,2i]p=[0,2i]

好了，现在计算下qp：

p′=qpp′=qp=[√22,√22k][0,2i]=[22,22k][0,2i]=[0,2√22i+2√22k×i]=[0,222i+222k×i]=[0,√2i+√2j]=[0,2i+2j]

结果是一个绕了k轴转了45度的纯四元数。 我们可以确认这个四元数的向量部分的长度是：

p′=√√22+√22=2p′=22+22=2

这正是我们所期望的！

我们可以用图像展示旋转过程：

现在，让我们考虑更一般化的四元数，即和p不正交的四元数。现在让我们把p的向量部分偏移45度：

^v=√22i+√22kv^=22i+22k

p=2ip=2i

q=[cosθ,sinθ^v]q=[cosθ,sinθv^]

p=[0,p]p=[0,p]

然后算qp：

p′=qpp′=qp=[cosθ,sinθ^v][0,p]=[cosθ,sinθv^][0,p][−sinθ^v⋅p,cosθp+sinθ^v×p][−sinθv^⋅p,cosθp+sinθv^×p]

代入我们设定的^v,pv^,p，以及θ=45∘θ=45∘，得到：

p′=[−√22(√22i+√22k)⋅(2i),√222i+√22(√22i+√22k)×2i]p′=[−22(22i+22k)⋅(2i),222i+22(22i+22k)×2i]=[−1,√2i+j]=[−1,2i+j]注意，算出来的结果已经不是纯四元数了，并且，它并没有旋转45度、范数也不再是2(反而变小了，变成√33)

我们可以用图像展示旋转过程：

严格来说，这样子在3维空间中表示p′p′是不正确的。因为它其实是一个4维的向量！为了简单起见，我只将这个四元数的向量部分显示出来。

然而，还有一线生机。Hamilton发现（但没有正式宣布），如果对qp右乘q的逆，出来的结果是一个纯四元数，并且四元数向量部分的范数可以保持不变。让我们试试应用在我们的例子里。

首先计算:

q=[cosθ,sinθ(√22i+√22k)]q=[cosθ,sinθ(22i+22k)]

q−1=[cosθ,−sinθ(√22i+√22k)]q−1=[cosθ,−sinθ(22i+22k)]

(译注：这里q−1=q∗q−1=q∗是因为q是单位四元数)

再代入θ=45∘θ=45∘，得到：

q−1=[√22,−√22(√22i+√22k)]q−1=[22,−22(22i+22k)]

12[√2,−i−k]12[2,−i−k]

现在，把前面算出来的qp再次拿出来：

qp=[−1,√2i+j]qp=[−1,2i+j]qpq−1=[−1,√2i+j]12[√2,−i−k]qpq−1=[−1,2i+j]12[2,−i−k]=12[−√2−(√2i+j)⋅(−i−k),i+k+√2(√2i+j)−i+√2j+k]=12[−2−(2i+j)⋅(−i−k),i+k+2(2i+j)−i+2j+k]=12[−√2+√2,i+k+2i+√2j−i+√2j+k]=12[−2+2,i+k+2i+2j−i+2j+k]=[0,i+√2j+k]=[0,i+2j+k]

这下是纯四元数了，并且它的范数是：

|qpq−1|=√12+√22+12=√4=2|qpq−1|=12+22+12=4=2

这和原始的p的范数一致。

下面的图像展示了旋转结果：

所以我们可以看到，这个结果是一个纯四元数，并且原四元数的向量的范数也保持住了。但是还有一个问题：向量被旋转了90度而不是45度。这刚好是我们需要的度数的两倍！为了正确地让一个向量绕某个轴向量旋转某个角度，我们必须以目标角度的一半来计算。因此，我们构造了下面的四元数：

q=[cos12θ,sin12θ^v]q=[cos12θ,sin12θv^]

这就是旋转四元数的一般形式！

在计算机图形学中使用四元数，其中一个重要原因是四元数非常适合用来表示空间中的旋转。四元数解决了其他3维空间旋转算法会遇到的恼人的问题，比如使用欧拉角来表示旋转操作时会遇到的万向节锁问题(Gimbal lock)。

使用四元数，我们可以定义好几种方案来表示3维空间的转动插值。第一种是SLERP，它被用来把一个点(物体)从一个朝向平滑地插值到另一个朝向。第二个是SLERP的扩展版本，被称为SQAD，它被用来处理用一系列朝向定义得到的一条路径的插值。

SLERP代表Spherical Linear Int*erp*olation。SLERP可以在2个朝向之间平滑地插值。

第一个朝向设为q1q1，第二个朝向设为q2q2 (请记住，这2个指示朝向的四元数是单位四元数，不然阅读下文会混乱）。被插值前的点设为pp，插值后的点设为p′p′。而插值参数t，当t=0时会把pp转到q1q1，当t=1时会转到q2q2。

标准的线性插值公式是(译注：这个公式是笛卡尔坐标系下的，不是指四元数)：

p′=p1+t(p2−p1)p′=p1+t(p2−p1)

应用这个等式的一般步骤是：

• 计算p1、p2p1、p2之间的差。
• 根据参数t，计算两个点的差的小数值(因为0<=t<=1)
• 把第二步的值加上原始点的值，算出结果

我们可以把这个基础公式，套用到2个用四元数表示的朝向的插值上。

根据上面的公式的第一步，我们必须先计算q1、q2q1、q2的差。对于四元数来说，这等价于计算2个四元数的角度差(angular difference)：

diff=q−11q2diff=q1−1q2

（译注：由q1pdiff=q2q1pdiff=q2推出 ）

接下来的目标是干掉上面四元数的差的分数部分，方法是计算四元数的t次幂(就是上面的那个插值参数t，区间是[0,1])。

四元数的幂运算的一般化公式是：

qt=exp(tlogq)qt=exp(tlog⁡q)

其中，(纯)四元数的exp函数的公式是：

eq=exp(q)=exp([0,θ^v])eq=exp(q)=exp([0,θv^])=[cosθ,sinθ^v]=[cosθ,sinθv^]

(纯)四元数的对数公式是：

logq=log(cosθ+sinθ^v)log⁡q=log⁡(cosθ+sinθv^)=log(exp(θ^v))=log⁡(exp(θv^))=θ^v=θv^=[0,θ^v]=[0,θv^]

(译注：上述的2次公式推导，其实省略了很多证明过程。具体可以参考： 四元数公式的补充 )

对于t = 0，我们有：

q0=exp(0logq)q0=exp(0log⁡q)=exp([cos(0),sin(0)^v])=exp([cos(0),sin(0)v^])=exp([1,0])=exp([1,0])=[1,0]=[1,0]

而对于t = 1，有：

q1=exp(1logq)=qq1=exp(1log⁡q)=q

对于角旋转的插值计算，我们利用q1和q2的角度分数差来调整原始朝向q1：

q′=q1(q−11q2)tq′=q1(q1−1q2)t

这也就是使用四元数的球面线性插值的一般形式。然而，这不是slerp函数的常用形式。

我们可以应用类似的用于计算向量的球面插值公式，到四元数里。计算向量的球面插值的一般形式定义如下：

vt=sin((1−t)θ)sinθv1+sin(tθ)sinθv2vt=sin((1−t)θ)sinθv1+sin(tθ)sinθv2

用图像表示如下：

这个公式可以原封不动地应用到四元数：

qt=sin((1−t)θ)sinθq1+sin(tθ)sinθq2qt=sin((1−t)θ)sinθq1+sin(tθ)sinθq2

但这个公式需要提供角度θθ，我们可以计算q1q1和q2q2的点积从而得出角度θθ：

cosθ=q1⋅q2|q1||q2|cosθ=q1⋅q2|q1||q2|

cosθ=s1s2+x1x2+y1y2+z1z2|q1||q2|cosθ=s1s2+x1x2+y1y2+z1z2|q1||q2|

θ=cos−1(s1s2+x1x2+y1y2+z1z2|q1||q2|)θ=cos−1(s1s2+x1x2+y1y2+z1z2|q1||q2|)

这个方案有2个问题，必须在实现过程中加以考虑。

第一，如果四元数点积的结果是负值，那么后面的插值就会在4D球面上绕远路，这并不是我们想要的。为了解决这个问题，我们测试点积的结果，当结果是负值时，我们将2个四元数的其中一个取反，取反它的系数和向量部分，并不会改变它代表的朝向。而经过这一步操作，可以保证这个旋转走的是最短路径。

当q1q1和q2q2的角度差非常小，小到导致sinθ=0sinθ=0 时，会出现第二个问题。如果这个情况出现了，当我们除以sinθsinθ时就会得到一个未定义的结果。在这个情况下，我们可以回退去使用q1q1和q2q2的线性插值。

正如一个SLERP可以被用来计算四元数之间的插值，一个SQUAD (Spherical andQuadrangle)可以被用来对旋转路径进行平滑插值。

如果我们有四元数序列：

q1,q2,q3,⋯,qn−2,qn−1,qnq1,q2,q3,⋯,qn−2,qn−1,qn

然后我们再定义一个"辅助"四元数(sisi)，它是一个中间控制点：

si=exp(−log(qi+1q−1i)+log(qi−1q−1i)4)qisi=exp(−log⁡(qi+1qi−1)+log⁡(qi−1qi−1)4)qi

所以，沿着子曲线的朝向可以定义为：

qi−1,qi,qi+1,qi+2qi−1,qi,qi+1,qi+2

在t时刻的朝向就是：

squad(qi,qi+1,si,si+1,t)=slerp(slerp(qi,qi+1,t),slerp(si,si+1,t),2t(1−t))squad(qi,qi+1,si,si+1,t)=slerp(slerp(qi,qi+1,t),slerp(si,si+1,t),2t(1−t))

除了特别难理解之外，相比矩阵或欧拉角，四元数在表示旋转这个事情上，拥有一些明显的优点。

• SLERP和SQUAD，提供了一种使得在朝向之间可以平滑过渡的方法。

• 使用四元数来串联"旋转"，要比使用矩阵快得多。

• 对于单位四元数，逆向旋转可以通过对向量部分取反来实现。而计算一个矩阵的逆矩阵是被认为比较慢的，如果这个矩阵未被标准正交化的话(标准正交矩阵的逆矩阵是它的转置矩阵)。

• 从四元数转换到矩阵，要比从欧拉角转换到矩阵快一点。

• 四元数只需要4个数字(如果旋转四元数已经单位化了那么只需要3个，实数部分可以在运行时计算)来表示一个旋转，而矩阵需要至少9个数字。

尽管使用四元数有这么多优点，还是有缺点存在的。

• 因为浮点数的舍入运算错误，四元数可能会变无效。不过，这个错误可以通过重新单位化四元数来避免。

• 使用四元数最具威慑性的地方，还是四元数的理解难度大。我希望这个问题可以通过阅读本文来解决。

存在一些已经实现了四元数、并且是正确的的数学程序库。在我的个人经验里，我发现GLM(OpenGL Math Library)是一个优秀的数学库，它的四元数的实现极其不错。如果你对在你的程序中使用四元数感兴趣，那么我会推荐你使用这个数学库。

我实现了一个小demo来演示一个四元数如何被用来旋转一个3维物体。这个demo是用Unity3.5.2实现的，你可以免费下载它和阅读它的脚本。zip文件也包含了一个Windows版的Unity程序。当然你可以自己构建一个Mac的版本。

Understanding Quaternions.zip