原标题：【网安智库】基于长除法的BCH(15，7)译码算法

摘要：BCH(15,7)码可纠错2 bit错误位，是一种应用广泛的信道编码。常见的实用译码方法是查表法，其存储错误比特和校验子的对应表即错误图样，译码时根据计算的校验子查错误图样表得到错误比特。BCH(15,7)的错误图样较大，存储错误图样表占用较大内存，查找较费时，译码较慢。因此，针对BCH(15,7)快速译码问题，提出了一种新颖的基于长除法的译码算法。该算法只利用有限域 中的长除法即可快速译码，不需要存储错误图样，也不需要解BM方程。理论和仿真证明，此算法有效可行，软硬件实现简单易行，可推广到实际BCH(15,7)的译码电路，具有较大的实际应用价值。

0 引 言

BCH码是一种重要的能纠多个随机错误的循环码，编码方便，实现电路简单，在现代数字通信领域中有及极广泛的应用[1-3]。BCH译码已有多种算法，实际工程应用中主要用的是错误图样查表法。该方法需要预先存储错误图样，对码长较长、纠错能力较强的BCH码，错误图样较多，查找、匹配较费时，译码延时严重[4-5]。

BCH(15，7)码是码距d=5 的循环码，能纠正2位随机错误。本文主要讨论一种基于长除法的BCH(15，7)码译码算法，实现快速译码，且简单高效。

1　BCH(15，7)编码

BCH(15，7)的生成多项式为：

信息多项式为：

信息序列为，其中mi(i=0,1,…,6) 为伽罗瓦域GF(2) 中的0或1，则BCH(15，7)码多项式为：

例1：，，则：

2　基于长除法的BCH(15,7)译码算法

此译码算法分为以下2步：

(1)由接收到的含有错误的r(x)=c(x)+e(x) 长除 得余式，即错误多项式(余式项数必须小于等于2)；

(2)错误多项式模2相加r(x) 得原码。

证明：

由于能纠正循环距离为8位的2位错误位，故只要r(x)mod(g(x)) 余式项数小于等于2必为错误多项式。

证毕。

例2：由于例1发送码是式(1)，假定接收码有2位错误，当然接收端是不知道有这2位错误的。由长除法得错误多项式如图1所示，得错误多项式。由于BCH(15，7)是循环码，，故，即纠错得原码。

3　MATLAB仿真

仿真程序如下：

%BCH(15,7)decode

msg=gf(randint(1,7),1); %information code

c=bchenc(msg,15,7); %encode

e=gf([1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0],1);%2 bit errors

r1=c+e;% receive code

r=r1;

g=gf([1 1 1 0 1 0 0 0 1],1);%generator polynomial

m=3;n=0;k=0;

while m>2 & k<30

k=k+1;

if r(1)==1

for j=1:9

r(j)=r(j)+g(j);

end

end

m=sum(r==1);

while r(1)==0 & m>2 & k<30 %left shift

n=n+1;

for i=1:14

r(i)=r(i+1);

end

r(15)=0;

end

end

s=mod(n,15);

for k=1:s %cyclic right shift

t=r(15);

for i=0:13

r(15-i)=r(14-i);

end

r(1)=t;

end

e1=r;

m1=sum(e1==1);

if m1<3

disp('OK e(x)=r(x) mod(g(x))');

end

该MATLAB仿真程序，可验证本算法的正确性。任意改变信息多项式msg 和小于等于2位错误多项式e ，均能纠错得到正确的原码。

4　结　语

利用长除法可得到BCH(15，7)接收码的错误多项式，译码算法具有简单、快速等优点，具有极广泛的应用价值。此外，本算法也适用于纠1位错误的汉明码译码，对纠多个错误的BCH码具有参考价值。

参考文献：

[1] Sweeney P.Error Control Coding,From Theory to Practice[M].Wiley,2002:67-83.

[2] Jorge C M.Essentials of Error Control Coding[M].Wiley,2006:41-61.

[3] John G P,Masoud S.Digital Communications[M].5th Edition(McGraw-Hill),2008:400-450.

[4] REED I S,Chen X M.Error-control Coding for Data Network[C].Norwell,1999:300-380.

[5] Blahut R E.Algebraic Codes for Data Transmissions[M].Cambridge:Cambridge University Press,2003:350-400.

作者简介：

江宝安，重庆邮电大学移通学院讲师，硕士，主要研究方向为纠错编码与通信理论。

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