图像插值理论研究——双三次插值（双立方插值）

双三次插值，英文是Bicubic interpolation。双三次插值是一种更加复杂的插值方式，它能创造出比双线性插值更平滑的图像边缘。双三次插值方法通常运用在一部分图像处理软件、打印机驱动程序和数码相机中，对原图像或原图像的某些区域进行放大。Adobe Photoshop CS 更为用户提供了两种不同的双三次插值方法：双三次插值平滑化和双三次插值锐化。

在数值分析这个数学分支中，双三次插值（英语：Bicubic interpolation）是二维空间中最常用的插值方法。在这种方法中，函数f在点 (x,y) 的值可以通过矩形网格中最近的十六个采样点的加权平均得到，在这里需要使用两个多项式插值三次函数，每个方向使用一个。

双三次插值又叫双立方插值，用于在图像中“插值”（Interpolating）或增加“像素”（Pixel）数量/密度的一种方法。通常利用插值技术增加图形数据，以便在它打印或其他形式输出的时候，能够增大打印面积以及（或者）分辨率。

目前有不同的插值技术可供选用。双立方插值通常能产生效果最好，最精确的插补图形，但它速度也几乎是最慢的。“双线性插值”（Bilinear interpolation）的速度则要快一些，但没有前者精确。在商业性图像编辑软件中，经常采用的是速度最快，但也是最不准确的“最近相邻”（Nearest Neighbor）插值。其他一些插值技术通常只在高档或单独应用的程序中出现。

通过双三次插值可以得到一个连续的插值函数，它的一阶偏导数连续，并且交叉导数处处连续。

如上图所示，我们在新生成的图像中，像素点是f(x,y)，先映射到源图像中的坐标为f(i+u,j+v)需要找到对应的原图像中离最近的16个点。

和前面介绍的双线性插值的分析方法类似（http://blog.chinaaet.com/justlxy/p/5100052604），我们可以分别对行和列进行依次处理。则有，

则有，

而s(*)表示的则是权值，有多种计算方法（模型），常用的有Bicubic、Mitchell和Lanczos等，这里简单介绍一下Bicubic函数：

该函数，波形如下图所示：

Lanczos函数为：

波形也是类似的：

主要参考文献：

https://baike.baidu.com/item/%E5%8F%8C%E4%B8%89%E6%AC%A1%E6%8F%92%E5%80%BC/11055947?fr=aladdin
https://en.wikipedia.org/wiki/Bicubic_interpolation
http://blog.csdn.net/taoyanbian1022/article/details/8850135
VLSI Realization of Lanczos Interpolation for a Generic Video Scaling Algorithm.pdf

注：原文最早发表于本人的ChinaAET博客（http://blog.chinaaet.com/justlxy/）

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