从拉格朗日插值法到范德蒙行列式

之前我写过一篇文章：如何理解牛顿插值法？其中解释了什么是插值法？为什么要有插值法？大家对此感兴趣可以去看看。

还有另外一种插值法，叫做拉格朗日插值法，也是以大牛冠名的，我们来看看它是怎么推导的？

1 拉格朗日插值法

比如说，已知下面这几个点，我想找到一根穿过它们的曲线：

使用多项式画出这根曲线是完全可行的，关于这点可以参看我写的如何理解泰勒公式？。

我们可以合理的假设，这根曲线是一个二次多项式：

$y = a_0 + a_1x + a_2x^2$

这是因为有三个已知的点，可以通过下列方程组解出这个二次多项式：

$\begin{cases} y_1 = a_0 + a_1x_1 + a_2x_1^2\\ y_2 = a_0 + a_1x_2 + a_2x_2^2\\ y_3 = a_0 + a_1x_3 + a_2x_3^2 \end{cases}$

不过这里不打算通过解方程来得到这根二次曲线，我们来看看拉格朗日是怎么解出这根曲线的？

1.1 拉格朗日的思考

约瑟夫·拉格朗日伯爵（1736 － 1813），可能是这么思考的。

首先，肯定得是二次曲线，这个之前我们就已经说明过了。

其次，拉格朗日认为可以通过三根二次曲线相加来达到目标。那这是怎么的三根二次曲线呢？

第一根曲线 $f_1(x)$ ，在 $x_1$ 点处，取值为1，其余两点取值为0：

为什么这么做？看下去就知道了。

第二根曲线 $f_2(x)$ ，在 $x_2$ 点处，取值为1，其余两点取值为0：

第三根曲线 $f_3(x)$ ，在 $x_3$ 点处，取值为1，其余两点取值为0：

这三根曲线就是拉格朗日需要的，我们来看看为什么？

$y_1f_1(x)$ 可以保证，在 $x_1$ 点处，取值为 $y_1$ ，其余两点取值为0。
$y_2f_2(x)$ 可以保证，在 $x_2$ 点处，取值为 $y_2$ ，其余两点取值为0。
$y_3f_3(x)$ 可以保证，在 $x_3$ 点处，取值为 $y_3$ ，其余两点取值为0。

那么：

$f(x)=y_1f_1(x)+y_2f_2(x)+y_3f_3(x)$

可以一一穿过这三个点，我们来看看：

此处有互动内容，点击此处前往操作。

拉格朗日伯爵说，看，这三根曲线就可以组成我在寻找的曲线：

真的是非常精彩的思考啊。

1.2 插值法的推导

到了严格化的时候了，我们用符号来表示 $f_i(x_j),i=1,2,3,j=1,2,3$ 。

首先， $f_i$ 必须是二次函数。

其次，需要满足的条件：

$f_i(x_j)=\begin{cases}1&i=j\\0&i\ne j\end{cases}$

那么，如下构造 $f_1(x)$ 很显然可以满足上述条件（代值进去就可以验算）：

$\displaystyle f_1(x)=\frac{(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)}$

更一般的有：

$\displaystyle f_i(x)=\prod_{j\ne i}^{1\leq j \leq 3}\frac{(x-x_j)}{(x_i-x_j)}$

因此，最终我们得到：

$\displaystyle f(x)=\sum_{i=1}^3 y_if_i(x)$

这就是拉格朗日插值法。上面的思路要推广到更多点的插值也非常容易。

牛顿插值法也是多项式插值法，拉格朗日插值法也是多项式插值法，那么，两者得到的多项式是否是同一个多项式？

2 拉格朗日插值法、牛顿插值法、范德蒙行列式

要回答刚才提出的问题，得看看我们最早提出的方程组怎么解？

$\begin{cases} y_1 = a_0 + a_1x_1 + a_2x_1^2\\ y_2 = a_0 + a_1x_2 + a_2x_2^2\\ y_3 = a_0 + a_1x_3 + a_2x_3^2 \end{cases}$

$(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)$ 这三个点是已知的，所以上面实际是一个线性方程组：

$\underbrace{\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{pmatrix}}_{\vec{y}}=\underbrace{\begin{pmatrix}1&x_1&x_1^2\\1&x_2&x_2^2\\1&x_3&x_3^2\end{pmatrix}}_{A}\underbrace{\begin{pmatrix}a_0\\a_1\\a_2\end{pmatrix}}_{\vec{a}}$

简写就是：

$\vec{y}=A\vec{a}$

$A$ 就是所谓的范德蒙矩阵， $|A|$ 自然就是范德蒙行列式。

根据矩阵与线性方程组解的关系，如果 $|A|\ne 0$ ，那么此方程就只有唯一的解，自然牛顿插值法、拉格朗日插值法得到的就是同一根多项式曲线。

求一下 $|A|$ ，先把 $r_2-r_1,r_3-r_1$ ，得到（ $r_1$ 表示第一行，以此类推。这么做是不会改变行列式的值的）：

$\begin{align*} |A|&=\begin{vmatrix}1&x_1&x_1^2\\0&x_2-x_1&x_2^2-x_1^2\\0&x_3-x_1&x_3^2-x_1^2\end{vmatrix}\\ &=\begin{vmatrix}x_2-x_1&x_2^2-x_1^2\\x_3-x_1&x_3^2-x_1^2\end{vmatrix}\\ &=(x_3-x_1)(x_3-x_2)(x_2-x_1) \end{align*}$

从给出的三个点来看， $x_1,x_2,x_3$ 都不相等，所以 $|A|\ne 0$ 。

所以，牛顿插值法、拉格朗日插值法得到的是同一根多项式曲线。

文章最新版本在（可能不定期更新）：从拉格朗日插值法到范德蒙行列式

从拉格朗日插值法到范德蒙行列式相关推荐

001 线性代数之行列式：定义、逆序数、余子式与代数余子式、n个易算行列式、范德蒙行列式
001 线性代数之行列式:定义.逆序数.余子式与代数余子式.n个易算行列式.范德蒙行列式
拉格朗日插值与范德蒙矩阵
******************************** 鉴于在博客中写公式略显难看,有碍观瞻,博客中的内容我都事先用latex写了一个pdf的文档,可以在下链接下载 http://downl ...
拉格朗日插值法与牛顿插值多项式
多项式插值先有一个函数 f ( x ) f(x) f(x),如果给定在区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上的 n + 1 n+1 n+1个点 a < = x 0 < x 1 ...
线性插值、抛物插值、Lagrange插值 | Lagrange拉格朗日插值法（一）
Lagrange(拉格朗日)插值法 Lagrange插值法是一种多项式插值方法. 1. 线性插值(两点插值或一次插值) 线性插值就是通过两个采样点 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x ...
[模型]拉格朗日插值法
文章目录 1 拉格朗日插值法的适用场景 2 拉格朗日插值法的基本原理 3 拉格朗日插值多项式的构建 5 拉格朗日插值法补全数据实现 5.1 Python 实现 6 插值效果验证 7 拉格朗日插值法算法 ...
C语言二维数组范德蒙,浅谈范德蒙德(Vandermonde)方阵的逆矩阵的求法以及快速傅里叶变换(FFT)中IDFT的原理...
浅谈范德蒙德(Vandermonde)方阵的逆矩阵与拉格朗日(Lagrange)插值的关系以及快速傅里叶变换(FFT)中IDFT的原理标签: 行列式矩阵线性代数 FFT 拉格朗日插值只要稍微看 ...
浅谈范德蒙德(Vandermonde)方阵的逆矩阵的求法以及快速傅里叶变换(FFT)中IDFT的原理...
浅谈范德蒙德(Vandermonde)方阵的逆矩阵与拉格朗日(Lagrange)插值的关系以及快速傅里叶变换(FFT)中IDFT的原理标签: 行列式矩阵线性代数 FFT 拉格朗日插值只要稍微看 ...
拉格朗日插值法求多项式系数（附代码）
写在前面: 学了拉格朗日插值法之后发现大家都说可以在O(n^2)时间内得到多项式系数,但是没有找到代码,网上找了很多资料又因为我太弱了没能看懂,最后在emofunx学长的帮助下终于搞明白了. 由于太弱 ...
范德蒙德矩阵在MATLAB中怎么表示,Python 之 Python与MATLAB 矩阵操作总结
Python 之 Python与MATLAB 矩阵操作小结一.线形代数理论基础线形代数(linear algebra)是数学的一个分支,研究矩阵理论.向量空间.线性变换和有限维线形方程组等内容. ...
【NA】拉格朗日插值法
文章目录插值问题:Interpolation. 插值多项式唯一性. 拉格朗日插值法. 线性(一次)插值. 二次插值. nnn 次插值. 插值余项. 碎碎念. 插值问题:Interpolation. ...

从拉格朗日插值法到范德蒙行列式

从拉格朗日插值法到范德蒙行列式相关推荐

最新文章

热门文章