工程数学概率论统计简明教程第二版复习大纲

  • 第二章 事件的概率
  • 第三章 条件概率和事件的独立性
  • 第四章 随机变量及其分布
  • 第五章 二维随机变量及其分布
  • 第六章 随机变量的函数及其分布
  • 第七章 随机变量的数字特征

第二章 事件的概率

  1. 掷两颗骰子，求下列事件的概率：
    （1） 点数之和为7；（2） 点数之和不超过 5；（3）点数之和为偶数。
    分别记题(1)、（2）、（3）的事件为 A,B,C,样本点总数n=62n=6^2n=62
    ➊ A含样本点(2,5)(2,5)(2,5),(5,2)(5,2)(5,2),(1,6)(1,6)(1,6),(6,1)(6,1)(6,1),(3,4)(3,4)(3,4),(4,3)(4,3)(4,3)
    ∴P(A)=662=16\therefore P(A)=\frac {6}{6^2}=\frac {1}{6} ∴P(A)=626​=61​
    ➋ B含样本点(1,1)(1,1)(1,1),(1,2)(1,2)(1,2),(2,1)(2,1)(2,1),(1,3),(1,3),(1,3),(3,1)(3,1)(3,1),(1,4)(1,4)(1,4), (4,1)(4,1)(4,1),(2,2)(2,2)(2,2),(2,3)(2,3)(2,3),(3,2)(3,2)(3,2)
    ∴P(B)=1062=518\therefore P(B)=\frac {10}{6^2}=\frac {5}{18} ∴P(B)=6210​=185​
    ➌ C含样本点(1,1)(1,1)(1,1), (1,3)(1,3)(1,3), (3,1)(3,1)(3,1), (1,5)(1,5)(1,5), (5,1)(5,1)(5,1), (2,2)(2,2)(2,2), (2,4)(2,4)(2,4), (4,2)(4,2)(4,2), (2,6)(2,6)(2,6), (6,2)(6,2)(6,2), (3,3)(3,3)(3,3),(3,5)(3,5)(3,5),(5,3)(5,3)(5,3),(4,4)(4,4)(4,4),(4,6)(4,6)(4,6),(6,4)(6,4)(6,4),(5,5)(5,5)(5,5),(6,6)(6,6)(6,6)，一共18个样本点。
    ∴P(B)=1862=12\therefore P(B)=\frac {18}{6^2}=\frac {1}{2} ∴P(B)=6218​=21​

  2. 甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6h6h6h，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，试求这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率.

  3. 已知AAA⊂\subset⊂BBB，P(A)P(A)P(A)⊂\subset⊂=0.40.40.4，P(B)P(B)P(B)=0.60.60.6，求
    (1) P(A‾)P(\overline{A})P(A), P(B‾)P(\overline{B})P(B)；
    (2) P(A∪B)P(A\cup B)P(A∪B)；
    (3) P(AB)P(AB)P(AB)；
    (4) P(B‾A)P(\overline{B}A)P(BA), P(AB‾)P(\overline{AB})P(AB)；
    (5) P(A‾B)P(\overline{A}B)P(AB)。
    ➊ P(A‾)=1−P(A)=1−0.4=0.6P(B‾)=1−P(B)=1−0.6=0.4\begin{aligned} &P(\overline{A}) =1- P(A) =1-0.4 = 0.6 \\ &P(\overline{B}) =1- P(B) =1-0.6=0.4 \end{aligned} ​P(A)=1−P(A)=1−0.4=0.6P(B)=1−P(B)=1−0.6=0.4​
    ➋ P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)=P(A)+P(B)−P(A)=P(B)=0.6\begin{aligned} P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) = P(A) + P(B) - P(A) = P(B) = 0.6 \end{aligned} P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)=P(A)+P(B)−P(A)=P(B)=0.6​
    ➌ P(AB)=P(A)=0.4\begin{aligned} P(AB) = P(A) = 0.4 \end{aligned} P(AB)=P(A)=0.4​
    ➍ P(B‾A)=P(A−B)=P(ϕ)=0P(AB‾)=P(A∪B‾)=1−P(A∪B)=1−0.6=0.4\begin{aligned} &P(\overline{B}A)= P(A - B)= P(\phi)=0 \\ &P(\overline{AB})=P(\overline{A\cup B})=1- P(A\cup B)=1-0.6 = 0.4 \end{aligned} ​P(BA)=P(A−B)=P(ϕ)=0P(AB)=P(A∪B)=1−P(A∪B)=1−0.6=0.4​
    ➎ P(A‾B)=P(B−A)=0.6−0.4=0.2\begin{aligned} P(\overline{A}B)= P(B - A)= 0.6 - 0.4 = 0.2 \end{aligned} P(AB)=P(B−A)=0.6−0.4=0.2​

  4. 设A,BA,BA,B是两个事件，己知P(A)=0.5

第三章 条件概率和事件的独立性

  • P29例14：从次品率为p=0.2p=0.2p=0.2的一批产品中，有放回抽取 5 次，每次取一件，分别求抽到的5件中恰好有了件次品以及至多有3件次品这两个事件的概率。
    ➊ 计AkA_kAk​={恰好有kkk件次品}(k=0,1, …\dots…,5)，A={恰有3件次品}，B={至多有3件次品}，则
    A=A3,B=⋃k=03Ak,P(A)=P(A3)=(53)0.230.82=0.0512,P(B)=1−P(B‾)=1−P(A4)−P(A5)=1−(54)0.240.8−0.25=0.9933.\begin{aligned} &A=A_3,B=\bigcup \limits_{k=0}^{3}A_k, \\ P(A)&=P(A_3)=\dbinom 53 0.2^30.8^2=0.0512, \\ P(B)&=1-P(\overline B)=1-P(A_4)-P(A_5) \\ &=1-\dbinom 54 0.2^40.8-0.2^5=0.9933. \end{aligned} P(A)P(B)​A=A3​,B=k=0⋃3​Ak​,=P(A3​)=(35​)0.230.82=0.0512,=1−P(B)=1−P(A4​)−P(A5​)=1−(45​)0.240.8−0.25=0.9933.​

  • 习题三第8题：设某一工厂有A,B,C三间车间，它们生产同一种螺钉,每个车间的产量分别占该厂生产螺钉总产量的25%,35%,40%,每个车间成品中次货的螺钉占该车间出产量的百分比分别为5%,4%,2%.如果从全厂总产品中抽取一件产品，
    （1）求抽到的产品是次品的概率；
    （2）已知得到的是次品，求它依次是车间A,B,C 生产的概率.

  • 习题三第9题：某次大型体育运动会有1000名运动员参加,其中有100人服用了违禁药品.在使用者中，假定有90 人的药物检查呈阳性，而在未使用者中也有5人检验结果显示阳性．如果一个运动员的药物检查结果是阳性,求这名运动员确实使用违禁药品的概率.

  • 习题三第10题：发报台分别以概率0.6和0.4发出信号"∗\ast∗"和"−-−“，由于通信系统受到干扰，当发出信号”∗\ast∗"时，收报台未必收到信号"∗\ast∗"，而是分别以概率0.8和0.2收到信号"∗\ast∗"和"−-−“;同样,当发出信号“一”时，收报台分别以概率0.9和0.1 收到信号”−-−“和”∗\ast∗".求
    （1）收报台收到信号"∗\ast∗"的概率；
    （2）当收报台收到信号"∗\ast∗"时,发报台确是发出信号"∗\ast∗"的概率。

  • 习题三第12题：设事件A,B相互独立．证明：AAA,B‾\overline BB相互独立,A‾\overline AA,B‾\overline BB相互独立.

  • 习题三第15题：三个人独立破译一密码，他们能独立译出的概率分别为 0.25,0.35,0.4. 求此密码被译出的概率.

  • 习题三第20题：假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作,若一周五个工作日里每天是否发生故障相互独立，试求一周五个工作日里发生3次故障的概率.

  • 习题三第21题：灯泡耐用时间在1000h以上的概率为0.2,求三个灯泡在使用 1000h 以后最多只有一个坏了的概率.

第四章 随机变量及其分布

  • P46例14：假设XXX是连续型随机变量，其密度函数为
    f(x)={cx20<x<20其它f(x)=\begin{cases} cx^2 & 0<x<2 \\ 0 & 其它 \end{cases} f(x)={cx20​0<x<2其它​
    （1）ccc的值；（2）P(−1<x<1)P(-1<x<1)P(−1<x<1).
    ➊ 因为f(x)f(x)f(x)是一密度函数，所以必须满足∫−∞∞x2dx=1\int\nolimits_{-\infty}^{\infty} x^2dx=1∫−∞∞​x2dx=1,于是有
    c∫02x2dx=1即c⋅13x3∣01=1解得c=38.\begin{aligned} &c\int_0^2 x^2dx=1 \\ &即\ c \cdot \frac {1}3x^3|_0^1=1 \\ &解得c=\frac {3}8. \end{aligned} ​c∫02​x2dx=1即 c⋅31​x3∣01​=1解得c=83​.​
    ➋ P(−1<X<1)=∫−11f(x)dx=∫−100dx+∫01f(x)dx=∫0138x2dx=18.\begin{aligned} P(-1<X<1)&=\int_{-1}^{1}f(x)dx \\ &=\int_{-1}^{0}0dx+\int_{0}^{1}f(x)dx \\ &=\int_{0}^{1}\frac{3}{8}x^2dx \\ &=\frac{1}{8}. \end{aligned} P(−1<X<1)​=∫−11​f(x)dx=∫−10​0dx+∫01​f(x)dx=∫01​83​x2dx=81​.​

  • 习题四第3题：一口袋中有6个球，在这6个球上分别标有 - 3,-3,1,1,1,2这样的数字.从这口袋中任取一球,设各个球被取到的可能性相同,求取得的球上标明的数宇X的分布律与分布函数.

  • 习题四第4题：一袋中有5个乒乓球，编号分别为1,2,3,4,5,从中随机地取3个，以X表示取出的了个球中最大号码，写出X的分布律和分布函数.

  • 习题四第16题：设随机变量X的密度函数为f(x)={2x,0<x<A,0,其它.f(x)=\begin{cases} 2x, & 0<x<A, \\ 0, & 其它. \end{cases} f(x)={2x,0,​0<x<A,其它.​试求：（1）常数A；(2)P(0<X<0.5)P(0<X<0.5)P(0<X<0.5).

  • 习题四第19题：经常往来于某两地的火车晚点的时间X(单位：min）是一个连续型随机
    变量，其密度函数为f(x)={3500(25−x2),−5<x<5,0,其它.f(x)=\begin{cases} \frac{3}{500}(25-x^2), & -5<x<5, \\ 0, & 其它. \end{cases} f(x)={5003​(25−x2),0,​−5<x<5,其它.​X的负值表示火车早到了,求火车至少晚点 2min 的概率.

  • 习题四第20题：设随机变量X的分布函数为
    f(x)={0,x⩽0,1−(1+x)e−x,x>0.f(x)=\begin{cases} 0, & x\leqslant 0, \\ 1-(1+x)e^{-x}, & x>0. \end{cases} f(x)={0,1−(1+x)e−x,​x⩽0,x>0.​求X的密度函数，并计算 P(X≤1)P(X≤1)P(X≤1)和P(X>2)P(X>2)P(X>2).

  • 习题四第23题：设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（单位：min）是一随机变量，它服从λ\lambdaλ=15\frac{1}{5}51​的指数分布，其密度函数为f(x)={15e−x5x>0,0,其它.f(x)=\begin{cases} \frac{1}{5}e^{-\frac{x}{5}} & x>0, \\ 0, & 其它. \end{cases}f(x)={51​e−5x​0,​x>0,其它.​某顾客在窗口等待服务，若超过 10 min,他就离开.
    （1）该顾客某天去银行,求他未等到服务就离开的概率；
    （2）设该顾客一个月要去银行五次，求他五次中至多有一次未等到服务而离开的概率.

  • 习题四第25题：设随机变量XXX的分布函数为F(x)=A+Barctan⁡x,−∞＜x＜+∞F(x)=A+B\operatorname{arctan}x, -\infty＜x＜+\inftyF(x)=A+Barctanx,−∞＜x＜+∞,求
    （1）常数AAA,BBB;
    （2）P(∣X∣<1)P(|X|<1)P(∣X∣<1)；
    （3）随机变量 XXX的密度函数.

  • 习题四第30题：某人上班路上所需的时间X~N(30,100）（单位：min），已知上班时间是8.30,他每天7.50出门,求：
    （1）某天迟到的概率；
    （2）一周(以5天计）最多迟到一次的概率.

第五章 二维随机变量及其分布

  • P59例3：设二维随机变量(X,Y)(X,Y)(X,Y)的联合密度函数为
    f(x,y)={ce−(2x+4y)x>0,y>00其它f(x,y)=\begin{cases} ce^{-(2x+4y)} & x>0,y>0 \\ 0 & 其它 \end{cases} f(x,y)={ce−(2x+4y)0​x>0,y>0其它​
    （1）求常数ccc；（2）P(X≥Y)P(X\geq Y)P(X≥Y).
    ➊ 由性质∫−∞+∞f(x,y)dxdy=1\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dxdy=1∫−∞+∞​f(x,y)dxdy=1得到
    ∫0+∞∫0+∞ce−(2x+4y)dxdy=1,而∫0+∞∫0+∞ce−(2x+4y)dxdy=c∫0+∞e−2xdx⋅∫0+∞e−4ydy=c⋅12⋅14\begin{aligned} \int_{0}^{+\infty}\int_{0}^{+\infty}ce^{-(2x+4y)} dxdy&=1, 而\\ \int_{0}^{+\infty}\int_{0}^{+\infty}ce^{-(2x+4y)} dxdy &=c\int_{0}^{+\infty} e^{-2x}dx \cdot \int_{0}^{+\infty}e^{-4y}dy \\ &=c\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4} \end{aligned} ∫0+∞​∫0+∞​ce−(2x+4y)dxdy∫0+∞​∫0+∞​ce−(2x+4y)dxdy​=1,而=c∫0+∞​e−2xdx⋅∫0+∞​e−4ydy=c⋅21​⋅41​​因此解得c=8c=8c=8.
    ➋ P(X≥Y)=∬x≥yf(x,y)dxdy=∫0+∞dx∫0x8e−(2x+4y)dy=∫0+∞2e−2x⋅(−e−4y)∣0xdx=∫0+∞2e−2x(1−e−4x)dx=∫0+∞2e−2xdx−∫0+∞2e−6xdx=1+13e−6x∣0+∞=1−13=23.\begin{aligned} P(X\geq Y)&=\iint \limits_{x\geq y} f(x,y)dxdy \\ &=\int_{0}^{+\infty}dx \int_{0}^{x}8e^{-(2x+4y)}dy \\ &=\int_{0}^{+\infty}2e^{-2x}\cdot (-e^{-4y})|_0^xdx \\ &=\int_{0}^{+\infty}2e^{-2x}(1-e^{-4x})dx\\ &=\int_{0}^{+\infty}2e^{-2x}dx-\int_{0}^{+\infty}2e^{-6x}dx \\ &=1+\frac{1}{3}e^{-6x}|_0^{+\infty} \\ &=1-\frac{1}{3}\\ &=\frac{2}{3}. \end{aligned} P(X≥Y)​=x≥y∬​f(x,y)dxdy=∫0+∞​dx∫0x​8e−(2x+4y)dy=∫0+∞​2e−2x⋅(−e−4y)∣0x​dx=∫0+∞​2e−2x(1−e−4x)dx=∫0+∞​2e−2xdx−∫0+∞​2e−6xdx=1+31​e−6x∣0+∞​=1−31​=32​.​

  • P66例9：设二维随机变量(X,Y)(X,Y)(X,Y)的联合分布律为

  • P66例11:

  • 习题五第1题：二维随机变量(X,Y）只能取下列数组中的值：(0,0），（-1,1）（-1,13\frac{1}{3}31​),（2,0）,且取这些组值的概率依次为16\frac{1}{6}61​,13\frac{1}{3}31​,112\frac{1}{12}121​,512\frac{5}{12}125​.求这二维随机变量的分布律，并写出关于X及关于Y的边缘分布律.

  • 习题五第7题：设二维随机变量(X，Y）服从在区域D上的均匀分布,其中区域D为x轴，y轴及直线y=2x+ 1围成的三角形区域(见图 5.2).求：
    （1）（X,Y)的联合密度函数；
    （2）P(−14<X<0,0<Y<14)P(-\frac{1}{4}<X<0,0<Y<\frac{1}{4})P(−41​<X<0,0<Y<41​)；
    （3） 关于X及关于丫的边缘密度函数；
    （4）X与Y是否独立，为什么？

  • 习题五第8题：

  • 习题五第9题：

  • 习题五第13题：

第六章 随机变量的函数及其分布






第七章 随机变量的数字特征





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