六维空间向量表示法公式笔记

六维空间向量表示法目录

1、运动和力
2、空间速度和空间力
3、加法运算和模乘
4、点积(内积)
5、坐标变换
6、叉积(向量积，外积)
7、微分
8、加速度
9、空间动量
10、空间惯量
11、空间运动方程

目前对机器人动力学还没有一套标准的表示法，比如有3D向量、齐次矩阵、六维空间向量等。其中最有效的是六维空间向量（ Spatial Vector Notation），本文是我看《Handbook of robotics》的笔记，其中看起来弯弯曲曲的字母 vfv fvf表示3维向量，看起来直直的v f 表示六维空间向量。

1、运动和力

为了区分刚体的运动（motion）和施加在刚体上的力（force），分别用运动六维向量空间M6M^6M6和力六维向量空间F6F^6F6来表示。两个空间及其各自的基向量如下图所示

两个空间共有12个基向量，6个用来描述运动，6个用来描述力。

在运动六维空间，对于一个坐标系OxyzO_{xyz}Oxyz，三个描述分别绕坐标轴OxO_xOx，OyO_yOy，OzO_zOz进行旋转的基向量dOxd_{Ox}dOx，dOyd_{Oy}dOy，dOzd_{Oz}dOz；三个描述分别沿着坐标轴OxO_xOx，OyO_yOy，OzO_zOz进行平移的基向量dxd_{x}dx，dyd_{y}dy，dzd_{z}dz。

在力六维空间，对于一个坐标系OxyzO_{xyz}Oxyz，三个描述分别绕坐标轴OxO_xOx，OyO_yOy，OzO_zOz进行旋转的基向量eOxe_{Ox}eOx，eOye_{Oy}eOy，eOze_{Oz}eOz；三个描述分别沿着坐标轴OxO_xOx，OyO_yOy，OzO_zOz进行平移的基向量exe_{x}ex，eye_{y}ey，eze_{z}ez。

2、空间速度和空间力

任意给定一个参考点OOO，刚体的速度可以用一对3维向量来表示：沿三个轴的线速度v=(vOx,vOy,vOz)v=(v_{Ox},v_{Oy},v_{Oz})v=(vOx,vOy,vOz)、绕三个轴旋转的角速度w=(wx,wy,wz)w=(w_x,w_y,w_z)w=(wx,wy,wz)。那么该运动的六维空间表示法为

相应的其普吕克坐标表示为

关于力是相似的。刚体受到力fff和扭矩nOn_OnO的作用，则该受力情况的六维空间向量表示法为

相应的其普吕克坐标表示为

3、加法运算和模乘

如果刚体同时受到两个力f1_11和f2_22的作用，那么这两个力的合力为f1_11+f2_22；

如果刚体1的速度为v1_11，刚体2的速度为v2_22，那么刚体2相对于刚体1的运动速度为v2_22-v1_11；

如果刚体受到力f1_11的作用，其大小为1N，那个αααf1_11表示在该方向上大小为αααN的力。

4、点积(内积)

六维空间向量的点积定义为该物体的运动m∈M6^66和力f∈F6^66的点积——f·m或者m·f。

m·m和f·f是无定义的。

如果m和f是用同一坐标系来表示的，那么m·f=mT^TTf。

5、坐标变换

定义AAA和BBB是两个坐标系，在AAA坐标系下的运动和力分别表示为mA_AA和fA_AA；在BBB坐标系下的运动和力分别表示为mB_BB和fB_BB。
那么从AAA坐标系下的运动变换到BBB坐标系下的方程为

相应的力的变换为

其中BXA^BX_ABXA和BXAF^BX_A^FBXAF分别是从坐标系AAA到坐标系BBB的运动变换矩阵和力变换矩阵。并且二者满足如下关系，也就是从力变换矩阵到运动变换矩阵的变换(或者反过来)是先求逆再转置(求逆和转置可交换)。

假设坐标系AAA相对于坐标系BBB的位置向量为BpA^Bp_ABpA，旋转变换矩阵为BRA^BR_ABRA，那么BXA^BX_ABXA可以表示为

其逆矩阵为

其中S(p)S(p)S(p)为ppp的斜对称矩阵

6、叉积(向量积，外积)

六维空间向量的叉积有两种形式，一种是运动和运动做叉积

第二种是运动和力做叉积

在此定义一个叉积算子

所以运动和运动的叉积表示为m1_11×m2_22=S(m1_11)m2_22

但是运动和力的叉积表示为m×f= - S(m)T^TTf

可见S(m)将运动向量映射为运动向量，S(m)T^TT将力向量映射为力向量。

7、微分

六维空间向量的微分定义为

对于一个运动的坐标系AAA，任意的六维空间向量s，该空间向量的微分表示为

且

8、加速度

六维空间向量的加速度和经典的刚体的加速度是不一样的。

上式中，左式为空间向量的加速度，右式为经典的刚体加速度，两者之间存在如下关系

如果r是某一个刚体相对于任意一个固定点的位置向量，那么存在如下关系

上式中，第一个式子是刚体的速度，第二个式子是刚体的经典加速度，第三个式子是刚体在向量空间的加速度，可见式子(3.21)依然是成立的。
如果刚体B1B_1B1和刚体B2B_2B2的速度分别是v1_11和v2_22，刚体B1B_1B1相对于刚体B2B_2B2的速度为vrelrelrel，那么v2_22=v1_11+vrel_{rel}rel
他们之间的加速度满足如下关系

9、空间动量

假设一个刚体的质量为mmm，质心为C，绕过C的直线的转动惯量为IcmI^{cm}Icm。如果刚体的空间速度为vc=(wTvcT)T_c=(w^Tv_c^T)^Tc=(wTvcT)T，那么
线动量为h=mvch=mv_ch=mvc
角动量为hC=Icmwh_C=I^{cm}whC=Icmw
该刚体绕着某一个点OOO的动量为hO=hC+c×hh_O=h_C+c×hhO=hC+c×h，其中，c=OC⃗c=\vec{OC}c=OC，即存在如下关系

10、空间惯量

刚体的空间动量是其空间惯量和速度的点积h=IvIvIv。
用在C处的普吕克坐标来表示为

其中，

上式是对一个质心在C处的刚体的空间惯量的一般表示方式。
但是对于另一点O来说，该刚体的动量表示为

但是该式仍然满足hC_CC=ICvCI_Cv_CICvC的形式，所以可得

我们继而写成如下形式

其中，

空间惯量矩阵是对称矩阵，也是正定矩阵。要表示空间惯量矩阵需要21个变量，但是刚体的惯量矩阵实际上只有10个参数：质量(1)、质心坐标(3)、IOI_OIO或者IcmI^{cm}Icm的六个独立参数(6)。
对于不同的坐标系AAA和BBB，惯量矩阵之间的变换矩阵为

故而下式也成立。

如果两个刚体的惯量分别是I1I_1I1和i2i_2i2，务必注意他俩相对于同一个旋转轴，那么总惯量为Itot=I1+I2I_{tot}=I_1+I_2Itot=I1+I2，
其动能为

11、空间运动方程

刚体的受力等于其动量的变化率，故而

再故而