时间序列的平稳性检验方法汇总篇

上文我们已经知道了什么是时间序列的平稳性，也见到了一些平稳时间序列和非平稳的时间序列，那么当我们有一个新的时间序列数据时，怎么判断它是否是平稳的呢？

时间序列平稳性检验方法，大体可分为三类：

图形分析方法
简单统计方法
假设检验方法

一、图形分析方法

图形分析方法是一种最基本、最简单直接的方法，即绘制图形，肉眼判断。

可直接可视化时间序列数据，也可以可视化时间序列的统计特征。

可视化数据

可视化数据即绘制时间序列的折线图，看曲线是否围绕某一数值上下波动（判断均值是否稳定），看曲线上下波动幅度变化大不大（判断方差是否稳定），看曲线不同时间段波动的频率[~紧凑程度]变化大不大（判断协方差是否稳定），以此来判断时间序列是否是平稳的。

以下绘制几张图，大家来直观判断一下哪些是平稳的，哪些是非平稳的。

import numpy as np
import pandas as pd
import akshare as ak
from matplotlib import pyplot as pltnp.random.seed(123)# -------------- 准备数据 --------------
# 白噪声
white_noise = np.random.standard_normal(size=1000)# 随机游走
x = np.random.standard_normal(size=1000)
random_walk = np.cumsum(x)# GDP
df = ak.macro_china_gdp()
df = df.set_index('季度')
df.index = pd.to_datetime(df.index)
gdp = df['国内生产总值-绝对值'][::-1].astype('float')# GDP DIFF
gdp_diff = gdp.diff(4).dropna()# -------------- 绘制图形 --------------
fig, ax = plt.subplots(2, 2)ax[0][0].plot(white_noise)
ax[0][0].set_title('white_noise')
ax[0][1].plot(random_walk)
ax[0][1].set_title('random_walk')ax[1][0].plot(gdp)
ax[1][0].set_title('gdp')
ax[1][1].plot(gdp_diff)
ax[1][1].set_title('gdp_diff')plt.show()

a. 白噪声，曲线围绕0值上下波动，波动幅度前后、上下一致，为平稳序列。
b. 随机游走，曲线无确定趋势，均值、方差波动较大，非平稳序列。
c. GDP数据趋势上升，均值随时间增加，非平稳序列。
d. GDP季节差分后数据，曲线大致在一条水平线上上下波动，波动幅度前后变化较小，可认为是平稳的。

可视化统计特征

可视化统计特征，是指绘制时间序列的自相关图和偏自相关图，根据自相关图的表现来判断序列是否平稳。

自相关，也叫序列相关，是一个信号与自身不同时间点的相关度，或者说与自身的延迟拷贝–或滞后–的相关性，是延迟的函数。不同滞后期得到的自相关系数，叫自相关图。

（这里有一个默认假设，即序列是平稳的，平稳序列的自相关性只和时间间隔k有关，不随时间t的变化而变化，因而可以称自相关函数是延迟（k）的函数）

平稳序列通常具有短期相关性，对于平稳的时间序列，自相关系数往往会迅速退化到零（滞后期越短相关性越高，滞后期为0时，相关性为1）；而对于非平稳的数据，退化会发生得更慢，或存在先减后增或者周期性的波动等变动。

自相关的计算公式为根据滞后期k将序列拆成等长的两个序列，计算这两个序列的相关性得到滞后期为k时的自相关性。

举例：

X=[2,3,4,3,8,7]\small X = [2,3,4,3,8,7]X=[2,3,4,3,8,7]

A=[2,3,4,3,8]\small A = [2,3,4,3,8]A=[2,3,4,3,8]

B=[3,4,3,8,7]\small B = [3,4,3,8,7]B=[3,4,3,8,7]

Xˉ=∑i=16Xi=4.5\small \bar{X}=\sum_{i=1}^{6}X_i=4.5Xˉ=∑i=16Xi=4.5

s2(X)=16∑i=16(Xi−Xˉ)(Xi−Xˉ)=4.916.\small s^2(X)=\frac{1}{6}\sum_{i=1}^{6}{(X_i-\bar{X})(X_i-\bar{X})}=4.916.s2(X)=61∑i=16(Xi−Xˉ)(Xi−Xˉ)=4.916.

r(1)=15∑i=15(Ai−Xˉ)(Bi−Xˉ)=1.75\small r(1)=\frac{1}{5}\sum_{i=1}^{5}{(A_i-\bar{X})(B_i-\bar{X})}=1.75r(1)=51∑i=15(Ai−Xˉ)(Bi−Xˉ)=1.75

ACF(1)=r(1)s2(X)=1.754.91666667=0.3559322\small ACF(1)=\frac{r(1)}{s^2(X)}=\frac{1.75}{4.91666667}=0.3559322ACF(1)=s2(X)r(1)=4.916666671.75=0.3559322

import statsmodels.api as sm
X = [2,3,4,3,8,7]
print(sm.tsa.stattools.acf(X, nlags=1, adjusted=True))

> [1, 0.3559322]
其中第一个元素为滞后期为0时的自相关性，第二个元素为滞后期为1时的自相关性

根据ACF求出滞后k自相关系数时，实际上得到并不是X(t)与X(t-k)之间单纯的相关关系。

因为X(t)同时还会受到中间k-1个随机变量X(t-1)、X(t-2)、……、X(t-k+1)的影响，而这k-1个随机变量又都和X(t-k)具有相关关系，所以自相关系数里面实际掺杂了其他变量对X(t)与X(t-k)的影响。

在剔除了中间k-1个随机变量X(t-1)、X(t-2)、……、X(t-k+1)的干扰之后，X(t-k)对X(t)影响的相关程度，叫偏自相关系数。不同滞后期得到的偏自相关系数，叫偏自相关图。（偏自相关系数计算较复杂，后期再来具体介绍）

下面我们就来看看几个实战案例（上图中的数据再来看一下它们的自相关图和偏自相关图）：

# 数据生成过程在第一个代码块中
from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf, plot_pacffig, ax = plt.subplots(4, 2)
fig.subplots_adjust(hspace=0.5)plot_acf(white_noise, ax=ax[0][0])
ax[0][0].set_title('ACF(white_noise)')
plot_pacf(white_noise, ax=ax[0][1])
ax[0][1].set_title('PACF(white_noise)')plot_acf(random_walk, ax=ax[1][0])
ax[1][0].set_title('ACF(random_walk)')
plot_pacf(random_walk, ax=ax[1][1])
ax[1][1].set_title('PACF(random_walk)')plot_acf(gdp, ax=ax[2][0])
ax[2][0].set_title('ACF(gdp)')
plot_pacf(gdp, ax=ax[2][1])
ax[2][1].set_title('PACF(gdp)')plot_acf(gdp_diff, ax=ax[3][0])
ax[3][0].set_title('ACF(gdp_diff)')
plot_pacf(gdp_diff, ax=ax[3][1])
ax[3][1].set_title('PACF(gdp_diff)')plt.show()

(1) 白噪声的自相关系数很快就衰减到0附近，是明显的平稳序列。滞后期为0时自相关系数和偏自相关系数其实就是序列自己和自己的相关性，故为1；滞后期为1时，自相关系数为0，表示白噪声无自相关性。
(2) 随机游走，自相关系数下降非常缓慢，故为非平稳序列；另从偏自相关系数中可以看到随机游走只和前一项有关。
(3) GDP数据的自相关图中也可以看到存在一定的周期性，滞后4、8、12等自相关系数较大下降较慢，差分后下降多一些起到一定效果，认为差分后序列是平稳的。同可视化数据一样，直观判断带有较强主观性，但能让我们对数据有更直观的认识。

二、简单统计方法

计算统计量的方法只是作为一个补充，了解即可。宽平稳中有两个条件是均值不变和方差不变，可视化数据中我们可以直观看出来，其实还可以具体计算一下看看。

很有意思的逻辑，直接将序列前后拆分成2个序列，分别计算这2个序列的均值、方差，对比看是否差异明显。（其实很多时序异常检验也是基于这种思想，前后分布一致则无异常，否则存在异常或突变）

我们来算白噪声和随机游走序列不同时间段的均值、方差：

import numpy as npnp.random.seed(123)white_noise = np.random.standard_normal(size=1000)x = np.random.standard_normal(size=1000)
random_walk = np.cumsum(x)def describe(X):split = int(len(X) / 2)X1, X2 = X[0:split], X[split:]mean1, mean2 = X1.mean(), X2.mean()var1, var2 = X1.var(), X2.var()print('mean1=%f, mean2=%f' % (mean1, mean2))print('variance1=%f, variance2=%f' % (var1, var2))print('white noise sample')
describe(white_noise)print('random walk sample')
describe(random_walk)

white noise sample:
mean1=-0.038644, mean2=-0.040484
variance1=1.006416, variance2=0.996734

random walk sample:
mean1=5.506570, mean2=8.490356
variance1=53.911003, variance2=126.866920

白噪声序列均值和方差略有不同，但大致在同一水平线上；
随机游走序列的均值和方差差异就比较大，因此为非平稳序列。

三、假设检验方法

平稳性的假设检验方法当前主流为单位根检验，检验序列中是否存在单位根，若存在，则为非平稳序列，不存在则为平稳序列。

在介绍检验方法之前，有必要了解一些相关补充知识，这样对后面的检验方法理解上就会更清晰一些。

预备知识

确定趋势

如果时间序列有“确定趋势”，比如
yt=β0+β1t+εty_t=\beta_0+\beta_1t+\varepsilon_tyt=β0+β1t+εt
其中，β1t\beta_1 tβ1t 即为确定趋势。
E(yt)=β0+β1t\small E(y_t)=\beta_0+\beta_1tE(yt)=β0+β1t
期望E(yt)\small E(y_t)E(yt)中有时间变量，随时间变化，所以不是平稳时间序列。

含有确定趋势的序列的差分过程是过度差分：
yt−yt−1=α+εt−εt−1y_t-y_{t-1}=\alpha+\varepsilon_t-\varepsilon_{t-1}yt−yt−1=α+εt−εt−1
过度差分不但会使序列样本容量减少，还会使序列的方差变大。差分后的序列会存在自相关性，但这种自相关性是毫无意义的。

所以应该使用“退势”的方法获得平稳序列，如下：
yt∗=yt−β1t=β0+ety_t^*=y_t-\beta_1t=\beta_0+e_tyt∗=yt−β1t=β0+et
但是 β1\beta_1β1 如何确定，趋势拟合。消除序列中的时间趋势后，即为平稳序列，所以称这样的序列为“趋势平稳”序列或“退势平稳”序列。

随机趋势

另一种导致时间序列非平稳的因素为“随机趋势”。比如随机游走模型：
yt=yt−1+εty_t=y_{t-1}+\varepsilon_tyt=yt−1+εt，其中 {εt}\small \{ \varepsilon_t \}{εt} 为白噪声
yt−yt−1=εiy_t-y_{t-1}=\varepsilon_iyt−yt−1=εi
来自 {εt}\small \{ \varepsilon_t \}{εt} 的任何波动对 {yt}\small \{ y_t \}{yt} 都具有永久性的冲击，最主要的是其影响力不随时间而衰减，称 {εt}\small \{ \varepsilon_t \}{εt} 为这个模型的“随机趋势”。

带漂移项的随机游走模型：
yt=β0+yt−1+εty_t=\beta_0+ y_{t-1}+\varepsilon_tyt=β0+yt−1+εt, 其中 β0≠0\beta_0 \neq 0β0=0 为常数
yt−yt−1=β0+εty_t-y_{t-1}=\beta_0+\varepsilon_tyt−yt−1=β0+εt

除持续受到来自随机趋势 {εt}\small \{ \varepsilon_t \}{εt} 的影响外，还受一个常数项 β0\small \beta_0β0 的影响。

以上对随机游走或带漂移项的随机游走进行一阶差分，均可消除随机趋势的影响，得到一个平稳序列，故称“差分平稳”序列。

d阶单整

称平稳的时间序列为“零阶单整”（Integrated of order zero），记为 I(0)\small I(0)I(0)。

如果时间序列的一阶差分是平稳的，则称为“一阶单整”（Integrated of order one），记为 I(1)\small I(1)I(1)，也称为“单位根过程”（unit root process）。

更一般地，如果时间序列的阶差分为平稳过程，则称为“d阶单整”(Integrated of order d)，记为 I(d)\small I(d)I(d)。

什么是单位根

考虑如下基础模型：
yt=β1yt−1+εty_t=\beta_1 y_{t-1}+\varepsilon_tyt=β1yt−1+εt，其中 {εt}\small \{ \varepsilon_t \}{εt} 为白噪声
和随机游走模型很像，只不过多了个系数 β1\beta_1β1。

我们知道随机游走是非平稳的，但是当 ∣β1∣<1\small |\beta_1|<1∣β1∣<1 时，这个序列就变成平稳的了。

yt=(β1)t[y0]+∑i=1t−1(β1)iεiy_t=(\beta_1)^{t}[y_0]+\sum_{i=1}^{t-1}(\beta_1)^i \varepsilon_iyt=(β1)t[y0]+∑i=1t−1(β1)iεi
当 ∣β1∣<1\small |\beta_1|<1∣β1∣<1 时，随着 ttt 的增大，yty_tyt 最终会收敛，长期来看 {yt}\{ y_t \}{yt} 是平稳的。
当 β1=1\small \beta_1=1β1=1 时，{yt}\{ y_t \}{yt} 为无规律非平稳的随机游走过程；
当 β1>1\small \beta_1>1β1>1 时，{yt}\{ y_t \}{yt} 为爆炸式增长的非平稳过程。

β1\beta_1β1 等于1时 β1\beta_1β1 就是我们所说的单位根。

画图对比以下可能会更清晰一些：

import numpy as np
from matplotlib import pyplot as pltnp.random.seed(123)def simulate(beta):y = np.random.standard_normal(size=1000)for i in range(1, len(y)):y[i] = beta * y[i - 1] + y[i]return yplt.figure(figsize=(20, 4))
for i, beta in enumerate([0.9, 1.0, 1.1]):plt.subplot(1, 3, i+1)plt.plot(simulate(beta))plt.title('beta: {}'.format(beta))
plt.show()

一阶差分方程

$y_t=\beta_0+\beta_1y_{t-1}+\varepsilon_t $ (a)(a)(a)
$y_t=\beta_0+\beta_1y_{t-1} $ (b)(b)(b)
$y_t=\beta_1y_{t-1} $ (c)(c)(c)
(a)(a)(a) 为一阶随机差分方程（因为含有随机项）
(b)(b)(b) 无随机项为确定性差分方程（但非齐次，因为含常数项 β0\beta_0β0）
(c)(c)(c) 为对应的齐次差分方程

根据差分方程理论，(a)(a)(a) 的稳定性和 (b)(b)(b) 的稳定性是一样的，而 (b)(b)(b) 是否稳定取决于 (c)(c)(c) 是否稳定，所以判断一个差分方程是否稳定，只要看它对应的齐次差分方程是否有稳定的通解即可。

以上齐次差分方程对应的特征方程为： λ−β1=0\lambda - \beta_1=0λ−β1=0，λ\lambdaλ 称为差分方程的特征根。

只有 ∣λ∣<1|\lambda|<1∣λ∣<1，即特征方程的根落在复平面的单位圆以内的时候，过程才会平稳。若果根正好落在圆上，称为单位根，为非平稳过程，比如随机游走的情形。如果落在圆外，则为爆炸式增长的非平稳过程。

差分方程写成滞后算子的形式是这样的： (1−β1L)yt=0(1-\beta_1L)y_t=0(1−β1L)yt=0，[L\small LL 为滞后算子]

对应特征方程（逆特征方程）为： 1−β1z=01-\beta_1z=01−β1z=0，[zzz 称为自回归滞后算子多项式的特征根。]

显然，差分方程的特征值λ与自回归滞后算子多项式的特征根z是互为倒数。
∣λ∣|\lambda|∣λ∣ 均小于1（特征方程的根都在单位圆内）时是平稳的，对应的 ∣z∣|z|∣z∣ 均大于1（逆特征方程的根都在圆外）时是平稳的。

更一般的n阶差分方程
yt=β1y1+β2y2+...+βnyny_t=\beta_1y_1+\beta_2y_2+...+\beta_ny_nyt=β1y1+β2y2+...+βnyn

对应的齐次差分方程为：
yt−β1y1−β2y2−...−βnyn=0y_t-\beta_1y_1-\beta_2y_2-...-\beta_ny_n=0yt−β1y1−β2y2−...−βnyn=0

该齐次差分方程的特征方程为：
λn−β1λn−1−β2λn−2−...−βn=0\lambda^n-\beta_1\lambda^{n-1}-\beta_2\lambda^{n-2}-...-\beta_n=0λn−β1λn−1−β2λn−2−...−βn=0
根均在单位圆内是平稳的。

滞后算子形式（逆特征方程）为：
1−β1z−β2λ2−...−βλn=01-\beta_1z-\beta_2\lambda^2-...-\beta\lambda^n=01−β1z−β2λ2−...−βλn=0

根均在单位圆外是平稳的。

一般直接计算高阶差分方程的根比较复杂，有些简单规则可以用来检验高阶差分方程的稳定性。

n阶差分方程中，所有特征根均位于单位圆内的充分条件为：

∑i=1nβi<1\small \displaystyle \sum_{i=1}^{n}\beta_i<1i=1∑nβi<1

n阶差分方程中，所有特征根均位于单位圆内的必要条件为：

∑i=1n∣βi∣<1\small \displaystyle \sum_{i=1}^{n}|\beta_i|<1i=1∑n∣βi∣<1

如果 ∑βi=1\small \sum \beta_i=1∑βi=1，至少有一个特征根等于1。

一个或多个特征根等于1的时间序列，称为单位根过程。

单位根（unit root）检验就是检验该差分方程的特征方程（characteristic equation）的各个特征根（characteristic root）是均小于1，还是存在等于1的情况。没有检验均大于1的情况，是因为当根均大于1时为爆炸型发散序列，日常数据中基本不存在。

检验方法

DF检验

ADF检验（Augmented Dickey-Fuller Testing）是最常用的单位根检验方法之一，通过检验序列是否存在单位根来判断序列是否是平稳的。ADF检验是DF检验的增强版，在介绍ADF之前，我们先来看一下DF检验。

迪基（Dickey）和弗勒（Fuller）1979年基于非平稳序列的基本特征将其大致归为三类并提出DF检验：

(1) 当序列基本走势呈现无规则上升或下降并反复时，将其归为无漂移项自回归过程；
(2) 当序列基本走势呈现明显的随时间递增或递减且趋势并不太陡峭时，将其归为带漂移项自回归过程；
(3) 当序列基本走势随时间快速递增时，则将其归为带趋势项回归过程。

对应检验回归式为：
(i) 无漂移项自回归过程：
Yt=ρYt−1+εt,(t=1,2,...,n),Y0=0\small Y_t=\rho Y_{t-1}+\varepsilon_t,(t=1,2,...,n),Y_0=0Yt=ρYt−1+εt,(t=1,2,...,n),Y0=0
(ii) 带漂移项自回归过程：
Yt=μ+ρYt−1+εt,(t=1,2,...,n),Y0=0\small Y_t=\mu + \rho Y_{t-1}+\varepsilon_t,(t=1,2,...,n),Y_0=0Yt=μ+ρYt−1+εt,(t=1,2,...,n),Y0=0
(iii) 带漂移项和趋势项自回归过程：
Yt=μ+βt+ρYt−1+εt,(t=1,2,...,n),Y0=0\small Y_t=\mu + \beta t+\rho Y_{t-1}+\varepsilon_t,(t=1,2,...,n),Y_0=0Yt=μ+βt+ρYt−1+εt,(t=1,2,...,n),Y0=0
其中 μ\muμ 是常数项，βt\beta tβt 是时间趋势项，εt\varepsilon_tεt 为白噪声无自相关性。

原假设 H0:ρ=1\small H_0: \rho=1H0:ρ=1（存在单位根，时间序列是非平稳的）
备择假设 H1:ρ<1\small H_1: \rho<1H1:ρ<1（不存在单位根，时间序列是平稳的–不含截距项和趋势项平稳/含截距项平稳/含截距项和趋势平稳）

若检验统计量大于临界值（p值大于显著性水平 α\alphaα），不能拒绝原假设，序列是非平稳的；
若检验统计量小于临界值（p值小于显著性水平 α\alphaα），拒绝原假设，认为序列是平稳的。

下图是网络中看到的单位根检验流程图以供参考（根据该流程可以确定序列是何种类型下的平稳，即便非平稳也可知道是何种类型下的非平稳序列）：

ADF检验

DF的检验公式为一阶自回归过程，为了能适用于高阶自回归过程的平稳性检验，迪基等1984年对DF检验进行了一定的修正，引入了更高阶的滞后项，ADF的检验回归式修正为：

假设条件不变：

原假设 H0:ρ=1\small H_0: \rho=1H0:ρ=1（存在单位根，时间序列是非平稳的）
备择假设 H1:ρ<1\small H_1: \rho<1H1:ρ<1（不存在单位根，时间序列是平稳的–不含截距项和趋势项平稳/含截距项平稳/含截距项和趋势平稳）

检验流程同DF检验一致。若要严格判断序列是否是宽平稳的，可以直接检验是否不含截距项和趋势项平稳；若不能拒绝原假设（如p>0.05），序列非平稳，其实仍有必要检验序列是否是趋势平稳的。非平稳且非趋势平稳，可以使用一阶差分等平稳化方法处理后再做检验，若是趋势平稳，困于过度差分则不宜使用差分方式平稳化。

生成一个趋势平稳序列：

import numpy as np
from matplotlib import pyplot as pltnp.random.seed(123)y = np.random.standard_normal(size=100)
for i in range(1, len(y)):y[i] = 1 + 0.1*i + y[i]plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.plot(y)
plt.show()

检验是否平稳：

from arch.unitroot import ADF
adf = ADF(y)
# print(adf.pvalue)
print(adf.summary().as_text())adf = ADF(y)
adf.trend = 'ct'
print(adf.summary().as_text())

说明：
arch包中ADF检验可指定trend为
‘n’（不含截距项和时间趋势项）
‘c’（含截距项）
‘ct’（含截距项和时间趋势项）
‘ctt’（含截距项和时间趋势项和二次型时间趋势项）
分别对应不同平稳类型的检验。（滞后期lags默认为AIC最小）

以上第一个文本输出中，不指定trend默认为检验是否含截距项平稳，显著性水平p=0.836>0.05，不拒绝原假设，非平稳；
以上第二个文本输出中，指定trend为检验是否含截距项和时间趋势项平稳，显著性水平p=0.000<0.05，拒绝原假设，故为趋势项平稳。

我们再来看看GDP季节差分前后数据是否为平稳的：

# 数据在第一个代码块中
from arch.unitroot import ADF
adf = ADF(gdp)
print(adf.summary().as_text())adf = ADF(gdp_diff)
print(adf.summary().as_text())

可以看到差分前p值为0.998>0.05，不能拒绝原假设，数据非平稳；差分后p值为0.003<0.05，故在5%的显著性水平下可拒绝原假设，差分后的数据是平稳的。

# 数据在第一个代码块中
from arch.unitroot import ADF
adf = ADF(gdp)
adf.trend = 'ct'
print(adf.summary().as_text())

指定检验平稳类型为含截距项和时间趋势项平稳，p值为0.693>0.05，同样不能拒绝原假设，故差分前亦非趋势平稳。

PP检验

Phillips和Perron(1988) 提出一种非参数检验方法，主要是为了解决残差项中潜在的序列相关和异方差问题，其检验统计量的渐进分布和临界值与 ADF检验相同。同样出现较早，假设条件一样，用法相似，可作为ADF检验的补充。

原假设 H0:ρ=1\small H_0: \rho=1H0:ρ=1（存在单位根，时间序列是非平稳的）
备择假设 H1:ρ<1\small H_1: \rho<1H1:ρ<1（不存在单位根，时间序列是平稳的–不含截距项和趋势项平稳/含截距项平稳/含截距项和趋势平稳）

同样构造一个趋势平稳序列，看下PP检验结果：

import numpy as np
from arch.unitroot import PhillipsPerronnp.random.seed(123)y = np.random.standard_normal(size=100)
for i in range(1, len(y)):y[i] = 1 + 0.1*i + y[i]pp = PhillipsPerron(y)
print(pp.summary().as_text())pp = PhillipsPerron(y)
pp.trend = 'ct'
print(pp.summary().as_text())

不指定trend为默认检验是否为带截距项的平稳过程，检验结果p值为0.055>0.05，对应检验统计量为-2.825大于5%显著性水平下的临界值-2.89，所以5%显著性水平下不拒绝原假设，为非平稳序列；但是检验统计量小于10%显著性水平下的临界值-2.58，故在10%的显著性水平下可拒绝原假设，认为是平稳序列。

指定trend=‘ct’为检验是否为带截距项和时间趋势项的平稳过程，检验结果p值为0.000<0.05，故为趋势平稳；其实检验统计量为-10.009小于1%显著性水平下的临界值-4.05，所以即便在1%显著性水平下也是平稳的。

基于以上检验结果，可以判定序列是趋势平稳的。

DF-GLS检验

DF-GLS检验，是Elliott, Rothenberg, and Stock 1996年提出的一种单位根检验方法，全称Dickey-Fuller Test with GLS Detredding，即“使用广义最小二乘法去除趋势的检验”，是目前最有功效的单位根检验。

DF-GLS检验利用广义最小二乘法，首先对要检验的数据进行一次“准差分”，然后利用准差分的数据对原序列进行去除趋势处理，再利用ADF检验的模型形式对去除趋势后的数据进行单位根检验，但此时ADF检验模型中不再包含常数项或者时间趋势变量。

原假设：序列存在单位根（时间序列是非平稳的）
备择假设：序列不存在单位根（时间序列是平稳的或趋势平稳的）

同样构造一个趋势平稳序列看下检验效果：

import numpy as np
from arch.unitroot import DFGLSnp.random.seed(123)y = np.random.standard_normal(size=100)
for i in range(1, len(y)):y[i] = 1 + 0.1*i + y[i]dfgls = DFGLS(y)
print(dfgls.summary().as_text())dfgls = DFGLS(y)
dfgls.trend = 'ct'
print(dfgls.summary().as_text())

不指定trend情况下不能拒绝原假设，非平稳；指定trend='ct’时p值小于0.05，拒绝原假设，带截距项和时间趋势平稳。

再来构造一个含单位根的非平稳序列看一下检验结果：

import numpy as np
from arch.unitroot import DFGLSnp.random.seed(123)y = np.random.standard_normal(size=100)
for i in range(1, len(y)):y[i] = 0.1 + y[i-1] + y[i]dfgls = DFGLS(y)
print(dfgls.summary().as_text())dfgls = DFGLS(y)
dfgls.trend = 'ct'
print(dfgls.summary().as_text())

p值一个为0.645，一个为0.347，均大于0.05/0.1。指不指定检验类型，均未能通过检验，故该序列为非平稳序列。（DF-GLS检验trend只能指定为’c’或者’ct’）

KPSS检验

另一个著名的单位根存在的检验是Kwiatkowski, Phillips, and Shin 1992年提出的KPSS检验。与以上三种检验方法相比，最大的不同点就是它的原假设是平稳序列或趋势平稳序列，而备择假设是存在单位根。

原假设：序列不存在单位根（时间序列是平稳的或趋势平稳的）
备择假设：序列存在单位根（时间序列是非平稳的）

import numpy as np
from arch.unitroot import KPSSnp.random.seed(123)y = np.random.standard_normal(size=100)
for i in range(1, len(y)):y[i] = 0.1 + y[i-1] + y[i]kpss = KPSS(y)
print(kpss.summary().as_text())kpss = KPSS(y)
kpss.trend = 'ct'
print(kpss.summary().as_text())

注意KPSS检验中原假设为不存在单位根。默认检验趋势类型下p值为0.000，拒绝原假设，存在单位根，序列非平稳。指定trend='ct’后，p值0.115>0.05，不拒绝原假设，认为序列趋势平稳，检验错误。以上几种检验中均不能100%保证检验正确，PP检验可认为是ADF检验的补充，KPSS检验同样也可和其他检验一同使用，当均认为是平稳或趋势平稳时方判定为平稳。

除以上检验方法外，还有Zivot-Andrews检验、Variance Ratio检验等检验方法。

以上代码实现中使用的是Python中的arch包，另外还有一个常用的包statsmodels中也实现了单位根检验方法，结果是一样的。

Method/Model	Package/Module (function/class)
Augmented Dickey-Fuller test	statsmodels.tsa.stattools (adfuller) arch.unitroot (ADF)
Phillip-Perron test	arch.unitroot (PhillipsPerron)
Dickey-Fuller GLS Test	arch.unitroot (DFGLS)
KPSS test	statsmodels.tsa.stattools (kpss) arch.unitroot (KPSS)
Zivot-Andrew test	statsmodels.tsa.stattools (zivot_andrews) arch.unitroot (ZivotAndrews)
Variance Ratio test	arch.unitroot (VarianceRatio)

参考链接

[1]http://course.sdu.edu.cn/G2S/eWebEditor/uploadfile/20140525165255371.pdf [2]https://max.book118.com/html/2016/0518/43276093.shtm [3]https://doc.mbalib.com/view/ef1783f2fa1892f6ad016281ed743d78.html [4]https://www.stata.com/manuals13/tsdfgls.pdf [5]https://zhuanlan.zhihu.com/p/50553021 [6]https://arch.readthedocs.io/en/latest/index.html