负二项随机变量

1 定义

几何随机变量表示的是重复独立试验直到首次成功的试验次数。现在考虑在同样的背景下，独立重复试验，每次成功的概率为p，0<p<1p，0\lt p\lt 1p，0<p<1，试验持续进行到试验累计成功rrr次为止。我们令XXX表示试验的总次数，则有：
P{X=n}=(n−1r−1)pr(1−p)n−r，n=r,r+1,⋯P\{X = n\} = \begin{pmatrix}n-1 \\r-1\end{pmatrix}p^r(1-p)^{n-r}，n=r,r+1,\cdots P{X=n}=(n−1r−1)pr(1−p)n−r，n=r,r+1,⋯
来解释一下这个式子，要想使第nnn次试验时，恰好第rrr次试验成功，那么前n−1n-1n−1次试验中必定有r−1r-1r−1次试验成功，其概率为：
(n−1r−1)pr−1(1−p)n−r\begin{pmatrix}n-1 \\r-1\end{pmatrix}p^{r-1}(1-p)^{n-r} (n−1r−1)pr−1(1−p)n−r
因为试验独立，再乘以第nnn次试验成功的概率ppp便得到了上式。
要证明如果试验一直进行，那么最终一定能得到rrr次成功，则需证明：
∑n=r∞P{X=n}=∑n=r∞(n−1r−1)pr(1−p)n−r=1\sum_{n=r}^\infty P\{X = n\} = \sum_{n=r}^\infty \begin{pmatrix}n-1 \\r-1\end{pmatrix}p^r(1-p)^{n-r} = 1 n=r∑∞P{X=n}=n=r∑∞(n−1r−1)pr(1−p)n−r=1
或者从概率论的角度可以通过如下方法证明：得到rrr次成功所需的试验次数可以分解为Y1,Y2,Y3,⋯,YrY_1,Y_2,Y_3,\cdots,Y_rY1,Y2,Y3,⋯,Yr，其中Y1Y_1Y1表示第一次成功时试验的次数，Y2Y_2Y2表示第一次试验成功后，直到第二次成功时所需的试验次数，Y3Y_3Y3表示第二次试验成功后，直到第三次成功所需的试验次数，以此类推。因为试验是相互独立的，且每次试验成功的概率都为ppp，因此Y1,Y2,Y3,⋯,YrY_1,Y_2,Y_3,\cdots,Y_rY1,Y2,Y3,⋯,Yr均为几何随机变量。而几何随机变量YiY_iYi都是以概率1取有限值，所以∑i=1rYi\sum_{i=1}^r Y_i∑i=1rYi一定为有限值，得证。
对于任意随机变量XXX，如果XXX的概率质量函数由：
P{X=n}=(n−1r−1)pr(1−p)n−r，n=r,r+1,⋯P\{X = n\} = \begin{pmatrix}n-1 \\r-1\end{pmatrix}p^r(1-p)^{n-r}，n=r,r+1,\cdots P{X=n}=(n−1r−1)pr(1−p)n−r，n=r,r+1,⋯
给出，那么就称XXX是参数(r,p)(r,p)(r,p)的负二项随机变量。（几何随机变量恰好是参数为(1,p)(1,p)(1,p)的负二项随机变量）

2 负二项随机变量的期望和方差

考虑XkX^kXk的期望：
E[Xk]=∑n=r∞nk(n−1r−1)pr(1−p)n−rE[X^k] = \sum_{n=r}^\infty n^k\begin{pmatrix}n-1 \\r-1\end{pmatrix}p^r(1-p)^{n-r} E[Xk]=n=r∑∞nk(n−1r−1)pr(1−p)n−r
由于n(n−1r−1)=r(nr)n\begin{pmatrix}n-1 \\r-1\end{pmatrix}=r\begin{pmatrix}n\\r\end{pmatrix}n(n−1r−1)=r(nr)，替换上式得：
E[Xk]=rp∑n=r∞nk−1(nr)pr+1(1−p)n−rE[X^k] = \cfrac{r}{p}\sum_{n=r}^\infty n^{k-1}\begin{pmatrix}n\\r\end{pmatrix} p^{r+1}(1-p)^{n-r} E[Xk]=prn=r∑∞nk−1(nr)pr+1(1−p)n−r
换个元令m=n+1m = n+1m=n+1得：
E[Xk]=rp∑m=r+1∞(m−1)k−1(m−1r)pr+1(1−p)m−1−rE[X^k] = \cfrac{r}{p}\sum_{m=r+1}^\infty (m-1)^{k-1}\begin{pmatrix}m-1\\r\end{pmatrix} p^{r+1}(1-p)^{m-1-r} E[Xk]=prm=r+1∑∞(m−1)k−1(m−1r)pr+1(1−p)m−1−r
仔细观察右半边发现右半边的形式其实就是Xk−1X^{k-1}Xk−1的期望形式，则有：
E[Xk]=rpE[(Y−1)k−1]E[X^k] =\cfrac{r}{p}E[(Y-1)^{k-1}] E[Xk]=prE[(Y−1)k−1]
其中YYY是参数为(r+1,p)(r+1,p)(r+1,p)的负二项随机变量。令k=1k = 1k=1我们便得到了期望E[X]E[X]E[X]：
E[X]=rpE[X] = \cfrac{r}{p} E[X]=pr
再领k=2k=2k=2我们根据地推关系可以得到E[X2]E[X^2]E[X2]：
E[X2]=rp(r+1p−1)E[X^2] = \cfrac{r}{p} (\cfrac{r+1}{p}-1) E[X2]=pr(pr+1−1)
因此根据方差与期望的关系，Var(X)Var(X)Var(X)为：
Var(X)=E[X2]−E[X]2=rp(r+1p−1)−rp=r(1−p)p2Var(X) = E[X^2]-E[X] ^2 = \cfrac{r}{p} (\cfrac{r+1}{p}-1)-\cfrac{r}{p} = \cfrac{r(1-p)}{p^2} Var(X)=E[X2]−E[X]2=pr(pr+1−1)−pr=p2r(1−p)
我们说几何随机变量恰好是参数为(1,p)(1,p)(1,p)的负二项随机变量，那么将r=1r=1r=1带入上面的期望和方差后，观察发现得到的结果就是几何随机变量的期望和方差。

参考资料：《概率论基础教程》Sheldon M.Ross

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