参考文献
[1] 胡寿松. 自动控制原理[M]. 第六版. 北京:科学出版社, 2015.
[2] 姜增如. 自动控制理论虚拟仿真与实验设计[M]. 第一版. 北京:北京理工大学出版社, 2020.

文中出现的代码均为Matlab代码。

1传递函数

传递函数（transfer function）是在拉式变换基础上引申的复数域数学模型。
线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比称为传递函数。

传递函数只取决于系统和元件的结构和参数，而与输入信号无关。
传递函数在零初始条件下定义，因此只反映系统的零状态特性。

1.1传递函数的常用形式

传递函数的常用形式由多项式和零极点形式。

多项式传递函数形式

G(s)=C(s)R(s)=b0sm+b1sm−1+...+bm−1s+bmsa0sm+a1sm−1+...+am−1s+amsG(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{b_0s^m+b_1s^{m-1}+...+b_{m-1}s+b_ms}{a_0s^m+a_1s^{m-1}+...+a_{m-1}s+a_ms}G(s)=R(s)C(s)=a0sm+a1sm−1+...+am−1s+amsb0sm+b1sm−1+...+bm−1s+bms

%传递函数模型
num = [ ]; den = [ ]; %num,den表示传递函数分子、分母
G = tf(num,den,Ts);%Ts为采样周期，建立离散系统传递函数时使用，否则可省略

零极点传递函数形式

对多项式传函分子和分母多项式进行因式分解，可写为如下形式：
G(s)=b0(s−z1)(s−z2)...(s−zm)a0(s−p1)(s−p2)...(s−pm)G(s)=\frac{b_0(s-z_1)(s-z_2)...(s-z_m)}{a_0(s-p_1)(s-p_2)...(s-p_m)}G(s)=a0(s−p1)(s−p2)...(s−pm)b0(s−z1)(s−z2)...(s−zm)

传递函数分子多项式的根Zi称为传递函数的零点(zero)，分母多项式的根Pi称为传递函数的极点(peak)。K∗=b0a0K^*=\frac{b_0}{a_0}K∗=a0b0，为根轨迹增益(root locus gain)。

闭环系统根轨迹增益等于开环系统前向通路根轨迹增益；对于单位反馈系统，闭环系统根轨迹增益就等于开环系统根轨迹增益；

在零极点分布图中，用X表示极点，O表示零点：

%零极点增益模型
G = zpk(z,p,k);%z为零点列向量，p为极点列向量，k为增益。

传递函数的形式转换

%多项式到零极点传递函数
[z,p.k]=tf2zp(num,den);
G=zpk(z,p,k)
%零极点到多项式传递函数
[num,den]=zp2tf(z,p,k);
G=tf(num,den)

1.2闭环传递函数与开环传递函数

闭环传递函数

ϕ(s)=G(s)1+G(s)H(s)\phi_(s)=\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}ϕ(s)=1+G(s)H(s)G(s)

针对闭环传函，分母多项式1+G(s)H(s)称为闭环系统的特征多项式；令该多项式为零，则1+G(s)H(s)=0称为闭环系统的特征方程。方程的根称为闭环系统的特征根（极点）。

闭环零极点位置对时间响应性能的影响

稳定性： 稳定性只与闭环极点位置有关，而与闭环零点位置无关，若极点都落在左半平面则系统稳定。
运动形式： 如果闭环系统无零点，且闭环极点均为实数极点，则时间响应一定是单调的；如果闭环极点均为复数极点，则时间响应一般是振荡的。
影响： 零点减小系统阻尼，使峰值时间提前，超调量增大；极点增大系统阻尼，使峰值时间滞后，超调量减小。它们的作用，随着其本身接近坐标原点的程度而加强。

闭环零点由开环前向通路传递函数的零点和反馈通路传递函数的极点所组成；对于单位反馈系统，闭环零点就是开环零点.

开环传递函数

反馈引入点断开时，输入端对应比较器输出E(s)到输入端对应的比较器的反馈信号B(s)之间所有传递函数的乘积，记为Gk(s)G_k(s)Gk(s)。
Gk(s)=G(s)H(s)G_k(s)=G(s)H(s)Gk(s)=G(s)H(s)

增加开环零极点对根轨迹的影响
增加零点： 开环传递函数增加零点，则根轨迹曲线将向左偏移，有利于改善系统的动态性能，而且，所加的零点越靠近虚轴，则影响越大。
增加极点： 开环传递函数增加极点，根轨迹曲线将向右偏移，不利于改善系统的动态性能，而且，所增加的极点越靠近虚轴，这种影响就越大。

开、闭环传递函数关系

对单位负反馈控制系统，其开、闭环传递函数的关系为：
Gk(s)=Gk(s)1+Gk(s)G_k(s)=\frac{G_k(s)}{1+G_k(s)}Gk(s)=1+Gk(s)Gk(s)
由上式可知系统开环传递函数的结构和参数决定了闭环传递函数的结构与性能。

2根轨迹

根轨迹(root locus)是开环系统某一参数从零变到无穷时，闭环系统特征方程式的根在s平面的变化轨迹。

在控制系统中， K*变化时的根轨迹叫做常规根轨迹。其他参数的根轨迹统称为广义根轨迹。
除根轨迹增益以外的其他参量（开环零点、开环极点、时间常数、反馈比例系数等）从零变化到无穷大时绘制的根轨迹称为参数根轨迹，用于分析参数变化对系统性能的影响。

闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增益均有关（参见“根轨迹的绘制原则”）。根轨迹法的基本任务在于，如何由已知的开环零、极点的分布及根轨迹增益，通过图解法找出闭环极点。

%根轨迹分析
rlocus(G) %绘制传递函数G的根轨迹

K从零到无穷大连续变化时，闭环极点在S平面上画出的根轨迹见下图。

根轨迹图的基本分析见下：

当根轨迹位于s左半平面时，表示系统参数在该区段内变化时，特征根全部具有复实部，即系统稳定；
当根轨迹在虚轴上时（同虚轴相交），表示系统参数为0时，具有一对特征虚根，系统临界稳定；
当根轨迹在s右半平面时，表示系统参数在该区段内变化时，系统不稳定；

自动控制原理：反馈控制系统的复域分析相关推荐

【自动控制原理】控制系统数学模型
目录一.控制系统数学模型 1.1 数学模型概述 1.2 时域.复域.频域下的常见数学模型举例 1.3 时域微分方程建模示例一 1.4 时域微分方程建模示例二 1.5 线性系统特性 1.6 运动模态 ...
【自动控制原理】根轨迹法之根轨迹法分析系统性能
一.稳定性能根轨迹法的核心思路是:通过研究系统特征方程的根随着传递函数中某一参数从0到∞变化时而变化形成的轨线. 闭环系统稳定性的充分必要条件:系统所有特征根均具有负实部. 表现在根轨迹中,就是所有 ...
自动控制原理笔记-控制系统的数学模型
目录建模方法控制系统的数学模型--微分方程: 将方框图变为具体公式: 非线性系统微分方程的线性化: 线性定常微分方程的求解: 拉普拉斯变换的有关概念: 复数的有关概念: 拉氏变换的定义: 一些常用 ...
自动控制原理——线性系统的根轨迹分析法
根轨迹法根轨迹的基本概念定义幅值条件相角条件根轨迹的本质稳定性稳态性能动态性能根轨迹的要求普通根轨迹的绘制绘制法则 1.根轨迹的支数.连续性.对称性 2.根轨迹的起点和终点 3. ...
自动控制原理笔记-线性系统的稳定性分析
目录稳定的概念及定义: 系统稳定的充要条件--闭环极点全部落在虚轴左边: 系统的稳定性判据: 劳斯判据(充要性)判据: 劳斯表特殊情况例(出现计算过程分母为0): 劳斯表特殊情况例(出现全0行): ...
自动控制原理_卢京潮_根轨迹法(复域分析)_学习笔记
总目录: 第一章自动控制的一般概念+第二章控制系统的数学模型学习笔记: https://blog.csdn.net/mahoon411/article/details/112555468 第三章线性系 ...
自动控制原理学习笔记系列（一、自动控制系统的稳定性分析）
自动控制原理学习笔记系列第一篇自动控制系统的稳定性分析自动控制原理学习笔记系列一.目的二.操作步骤 1. 研究高阶系统的稳定性 2.系统根轨迹增益变化对系统稳定性的影响一.目的 (1) 研 ...
计算机控制系统裴润,自动控制原理（上下）
第一章绪论 1.1 自动控制原理的概念 1.2 自动控制系统 1.3 对控制系统的基本要求 1.4 课程的主要内容第二章控制系统的简单数学模型 2.1 控制系统微分方程式的建立 2.2 传递函数 ...
计算机控制系统顾树生课后答案,清华大学出版社-图书详情-《自动控制原理习题详解》...
信息化时代的到来,为自动控制技术的应用开拓了更加广阔的空间.作为有关自动控制技术的基础理论--自动控制原理,已成为各高校许多学科和专业必修的技术基础课.深入理解和掌握<自动控制原理>中主要 ...
自动控制原理学习笔记---自动控制系统校正与综合
自控原理学习笔记自控原理学习笔记专栏第一章--反馈控制系统的动态模型第二章--控制系统稳定性分析第三章--连续时间系统性能分析第四章--自动控制系统校正与综合第五章--线性离散系统自动控 ...

自动控制原理：反馈控制系统的复域分析