泰勒级数(Taylor Series)和利用python计算自然常数

一、指数函数 $e^x$ 的泰勒级数

当 $x$ 的值为1时，便可计算自然常数e.

特别地，当 $x$ 的值不为0时， $x^0$ 的值为1， $0!$ 的值为1.

当 $x=0$ 时， $x^0$ 的值为0， $0!$ 的值还是1.

二、利用python计算自然常数

代码

import mathdef approximated_e(n, x=1):E = 0.0for i in range(n):E = E + (x**i)/math.factorial(i)return Ee_std = math.e
print('%.50f' % e_std)e_5 = approximated_e(5, 1)
e_10 = approximated_e(10, 1)
e_15 = approximated_e(15, 1)
e_16 = approximated_e(16, 1)
e_17 = approximated_e(17, 1)
e_18 = approximated_e(18, 1)
e_25 = approximated_e(25, 1)
e_50 = approximated_e(50, 1)
e_75 = approximated_e(75, 1)
e_100 = approximated_e(100, 1)
print('n =  5: %.50f %.50f' % (e_5, math.fabs(e_std-e_5)))
print('n = 10: %.50f %.50f' % (e_10, math.fabs(e_std-e_10)))
print('n = 15: %.50f %.50f' % (e_15, math.fabs(e_std-e_15)))
print('n = 16: %.50f %.50f' % (e_16, math.fabs(e_std-e_16)))
print('n = 17: %.50f %.50f' % (e_17, math.fabs(e_std-e_17)))
print('n = 18: %.50f %.50f' % (e_18, math.fabs(e_std-e_18)))
print('n = 25: %.50f %.50f' % (e_25, math.fabs(e_std-e_25)))
print('n = 50: %.50f %.50f' % (e_50, math.fabs(e_std-e_50)))
print('n = 75: %.50f %.50f' % (e_75, math.fabs(e_std-e_75)))
print('n =100: %.50f %.50f' % (e_100, math.fabs(e_std-e_100)))

输出

2.71828182845904509079559829842764884233474731445312
n =  5: 2.70833333333333303727386009995825588703155517578125 0.00994849512571205352173819846939295530319213867188
n = 10: 2.71828152557319224769116772222332656383514404296875 0.00000030288585284310443057620432227849960327148438
n = 15: 2.71828182845823018709552343352697789669036865234375 0.00000000000081490370007486490067094564437866210938
n = 16: 2.71828182845899490871488524135202169418334960937500 0.00000000000005018208071305707562714815139770507812
n = 17: 2.71828182845904287034954904811456799507141113281250 0.00000000000000222044604925031308084726333618164062
n = 18: 2.71828182845904553488480814849026501178741455078125 0.00000000000000044408920985006261616945266723632812
n = 25: 2.71828182845904553488480814849026501178741455078125 0.00000000000000044408920985006261616945266723632812
n = 50: 2.71828182845904553488480814849026501178741455078125 0.00000000000000044408920985006261616945266723632812
n = 75: 2.71828182845904553488480814849026501178741455078125 0.00000000000000044408920985006261616945266723632812
n =100: 2.71828182845904553488480814849026501178741455078125 0.00000000000000044408920985006261616945266723632812

结论：当泰勒展开项(n)超过17时，计算得到的自然常数e的精度受到限制。

原因分析：python float运算精度有限，不过这是我自己的纯属猜想...

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