抽象代数 04.03 Sylow 子群
§4.3 Sylow 子群{\color{blue}\text{\S4.3 Sylow 子群}}§4.3 Sylow 子群
问题4.3.1(Lagrange定理).H<G⇒∣H∣∣∣G∣。反之，任意m∣∣G∣,是否有子群H使得∣H∣=m?问题4.3.1(\mathrm{Lagrange}定理).H < G \Rightarrow |H| | |G|。反之，任意m | |G|,是否有子群H使得|H| = m?问题4.3.1(Lagrange定理).H<G⇒∣H∣∣∣G∣。反之，任意m∣∣G∣,是否有子群H使得∣H∣=m?
答案是否定的(试举反例:A4没有6阶元)。对循环群是正确的。答案是否定的(试举反例:A_4没有6阶元)。对循环群是正确的。答案是否定的(试举反例:A4没有6阶元)。对循环群是正确的。
定理4.3.2(Cauchy定理).设素数p是∣G∣的因子，则G中有p阶元,或G有p阶子群。{\color{blue}定理4.3.2}(\mathrm{Cauchy}定理).设素数p是|G|的因子，则G中有p阶元,或G有p阶子群。定理4.3.2(Cauchy定理).设素数p是∣G∣的因子，则G中有p阶元,或G有p阶子群。
注记4.3.3.p阶子群存在，p2阶子群是否存在？p3,⋯ ,pl(pl∣∣G∣)呢？{\color{blue}注记4.3.3.}p阶子群存在，p^2阶子群是否存在？p^3,\cdots, p^l(p^l | |G|)呢？注记4.3.3.p阶子群存在，p2阶子群是否存在？p3,⋯,pl(pl∣∣G∣)呢？
19世纪挪威的三位数学家:
Sylow(1932-1918):Sylow定理(1872)
Abel(1802-1829)
Lie(1842-1899):连续变换群
大二的有限群、乘法⇔\Leftrightarrow⇔小学二年级整数、乘法
定义4.3.4.设p是一个素数。若群G的阶∣G∣=pk,则称G是一个p-群。{\color{blue}定义4.3.4.}设p是一个素数。若群G的阶|G| = p^k,则称G是一个{\color{blue}\text{p-群}}。定义4.3.4.设p是一个素数。若群G的阶∣G∣=pk,则称G是一个p-群。
定理4.3.5.设p-群G作用在集合X上，∣X∣=n,t=∣X0∣={x∈X∣gx=x,∀g∈G}(G的作用的不动点集)。则{\color{blue}定理4.3.5.}设\text{p-群}G作用在集合X上，|X| = n, t = |X_0| = \lbrace x \in X | gx = x, \forall g \in G \rbrace (G的作用的不动点集)。则定理4.3.5.设p-群G作用在集合X上，∣X∣=n,t=∣X0∣={x∈X∣gx=x,∀g∈G}(G的作用的不动点集)。则
1)t≡n(modp);1)t \equiv n \pmod p;1)t≡n(modp);
2)当(n,p)=1时,t≥1,即G在X上的作用存在不动点;2)当(n, p) = 1时, t \geq 1,即G在X上的作用存在不动点;2)当(n,p)=1时,t≥1,即G在X上的作用存在不动点;
3)C(G)≠{1}.3)C(G) =\not \lbrace 1 \rbrace.3)C(G)≠{1}.
定理4.3.6.(Sylow第一定理).设∣G∣=plm,其中p为素数,l≥1,(p,m)=1。则对任意k≤l,G中存在pk阶子群。{\color{blue}定理4.3.6.}(\mathrm{Sylow}第一定理).设|G| = p^l m,其中p为素数, l \geq 1,(p,m) = 1。则对任意k \leq l,G中存在p^k阶子群。定理4.3.6.(Sylow第一定理).设∣G∣=plm,其中p为素数,l≥1,(p,m)=1。则对任意k≤l,G中存在pk阶子群。
证:1)考虑G在G的所有含pk个元素的子集的集合上的作用。设X={A⊂G∣∣A∣=pk}.对任意A∈X,FA为其迷向子群,由于FAA⊂A,故A是FA的一个右陪集的并,因此∣FA∣∣∣A∣=pk,故FA是个p−群,且∣FA∣≤pk。设若所有这些p−群的阶数都<pk,则由∣OA∣=∣G∣/∣FA∣可得对任意A∈X,pl−i+1∣∣OA∣.又X为轨道的不交并,故pl−k+1∣∣X∣=Cpkpkm.{\color{blue}证:}1)考虑G在G的所有含p^k个元素的子集的集合上的作用。设X=\lbrace A \sub G | |A| = p^k \rbrace.对任意A \in X, F_A为其迷向子群,由于F_AA \sub A,故A是F_A的一个右陪集的并,因此|F_A| | |A| = p^k,故F_A是个p-群,且|F_A| \leq p^k。设若所有这些p-群的阶数都<p^k,则由|O_A|=|G|/|F_A|可得对任意A \in X,p^{l-i+1} | |O_A|.又X为轨道的不交并,故p^{l-k+1} | |X| = C^{p^k}p^km.证:1)考虑G在G的所有含pk个元素的子集的集合上的作用。设X={A⊂G∣∣A∣=pk}.对任意A∈X,FA为其迷向子群,由于FAA⊂A,故A是FA的一个右陪集的并,因此∣FA∣∣∣A∣=pk,故FA是个p−群,且∣FA∣≤pk。设若所有这些p−群的阶数都<pk,则由∣OA∣=∣G∣/∣FA∣可得对任意A∈X,pl−i+1∣∣OA∣.又X为轨道的不交并,故pl−k+1∣∣X∣=Cpkpkm.
2)利用Cauchy定理,存在p阶子群H.当l=1,显然成立.2)利用\mathrm{Cauchy}定理,存在p阶子群H.当l=1,显然成立.2)利用Cauchy定理,存在p阶子群H.当l=1,显然成立.
当l>1时,考虑H作用在X=G/H.当l > 1时,考虑H作用在X=G/H.当l>1时,考虑H作用在X=G/H.
其不动点集X0的元素个数是p的倍数(∣X0∣≡∣X∣=0(modp)),其不动点集X_0的元素个数是p的倍数(|X_0| \equiv |X| = 0 \pmod p),其不动点集X0的元素个数是p的倍数(∣X0∣≡∣X∣=0(modp)),
因此NG(H)⫌H(∣X0∣=[NG(H):H]).因此N_G(H) \supsetneqq H(|X_0| = [N_G(H):H]).因此NG(H)⫌H(∣X0∣=[NG(H):H]).
故p∣∣NG(H)/H∣,则NG(H)/H中含有p阶子群，故p | |N_G(H)/H|,则N_G(H)/H中含有p阶子群，故p∣∣NG(H)/H∣,则NG(H)/H中含有p阶子群，
利用同态基本定理，NG(H)中含有p2阶子群。利用同态基本定理，N_G(H)中含有p^2阶子群。利用同态基本定理，NG(H)中含有p2阶子群。
定义4.3.7.称G的pl阶子群为G的sylow  p−子群{\color{blue}定义4.3.7.}称G的p^l阶子群为G的\mathrm{sylow\;} p-子群定义4.3.7.称G的pl阶子群为G的sylowp−子群
问题4.3.8.Sylow第一定理证明了Sylow  p−子群的存在性，唯一吗？如果唯一，就是一个正规子群。问题4.3.8.Sylow第一定理证明了Sylow \; p-子群的存在性，唯一吗？如果唯一，就是一个正规子群。问题4.3.8.Sylow第一定理证明了Sylowp−子群的存在性，唯一吗？如果唯一，就是一个正规子群。
如果不唯一，相互关系怎么样？与其他的pk阶子群的关系如何？如果不唯一，相互关系怎么样？与其他的p^k阶子群的关系如何？如果不唯一，相互关系怎么样？与其他的pk阶子群的关系如何？
定理4.3.9(Sylow第二定理).设P是G的一个Sylow  p−子群,H是G的一个pk阶子群。{\color{blue}定理4.3.9}(Sylow第二定理).设P是G的一个Sylow\;p-子群,H是G的一个p^k阶子群。定理4.3.9(Sylow第二定理).设P是G的一个Sylowp−子群,H是G的一个pk阶子群。
则存在g∈G使得H⊂gPg−1.特别地,G的Sylow  p−子群是相互共轭的。则存在g \in G使得H \sub gPg^{-1}.特别地,G的Sylow \; p-子群是相互共轭的。则存在g∈G使得H⊂gPg−1.特别地,G的Sylowp−子群是相互共轭的。
证：考虑H在G/P上的左平移作用。证：考虑H在G/P上的左平移作用。证：考虑H在G/P上的左平移作用。
注记4.3.10.1)Sylow  p−子群在共轭意义下是唯一的，什么时候真的唯一？{\color{blue}注记4.3.10.}1)Sylow \; p-子群在共轭意义下是唯一的，什么时候真的唯一？注记4.3.10.1)Sylowp−子群在共轭意义下是唯一的，什么时候真的唯一？
2)如果Sylow  p−子群不唯一，个数是多少？2)如果Sylow \; p-子群不唯一，个数是多少？2)如果Sylowp−子群不唯一，个数是多少？
设X={P<G∣∣P∣=pl}为G的Sylow  p−子群的全体。设X = \lbrace P < G | |P| = p^l \rbrace为G的Sylow \; p-子群的全体。设X={P<G∣∣P∣=pl}为G的Sylowp−子群的全体。
G在X上的(共轭)作用可递。任意P∈X,FP={g∈G∣gPg−1}=NG(P).G在X上的(共轭)作用可递。任意P\in X,F_P = \lbrace g \in G | g P g^{-1} \rbrace = N_G(P).G在X上的(共轭)作用可递。任意P∈X,FP={g∈G∣gPg−1}=NG(P).
显然:P⊲NG(P),pl∣∣NG(P)∣。∣X∣=∣G∣/∣NG(P)∣.故k∣m.显然: P \lhd N_G(P),p^l | |N_G(P)|。|X| = |G| / |N_G(P)|.故k | m.显然:P⊲NG(P),pl∣∣NG(P)∣。∣X∣=∣G∣/∣NG(P)∣.故k∣m.
推论4.3.11.G的Sylow  p−子群P的个数等于[G:NG(P)].{\color{blue}推论4.3.11.}G的Sylow \; p-子群P的个数等于[G:N_G(P)].推论4.3.11.G的Sylowp−子群P的个数等于[G:NG(P)].
定理4.3.12(Sylow第三定理).设G的Sylow  p−子群的个数为k,则有{\color{blue}定理4.3.12}(Sylow第三定理).设G的Sylow \; p-子群的个数为k,则有定理4.3.12(Sylow第三定理).设G的Sylowp−子群的个数为k,则有
1)G的Sylow  p−子群P⊲G,当且仅当k=1.因此,P是NG(P)的唯一的Sylow  p−子群。1)G的Sylow \; p-子群 P \lhd G,当且仅当k = 1.因此,P是N_G(P)的唯一的Sylow \; p-子群。1)G的Sylowp−子群P⊲G,当且仅当k=1.因此,P是NG(P)的唯一的Sylowp−子群。
2)k∣m,k≡1(modp).2)k | m,k \equiv 1 \pmod p.2)k∣m,k≡1(modp).
证:2)先考虑G和P在X上的作用.再用P在X上的作用。设P1∈X为P作用的不动点。故pP1p−1=P1,即P<NG(P1),同时P1<NG(P1).即P,P1都是NG(P1)的Sylow  p−群,故P=P1,即∣X0∣=1.{\color{blue}证:}2)先考虑G和P在X上的作用.再用P在X上的作用。设P_1 \in X为 P作用的不动点。故pP_1p^{-1} = P_1,即 P< N_G(P_1),同时P_1 < N_G(P_1).即P,P_1都是N_G(P_1)的Sylow \; p-群,故P=P_1,即|X_0| = 1.证:2)先考虑G和P在X上的作用.再用P在X上的作用。设P1∈X为P作用的不动点。故pP1p−1=P1,即P<NG(P1),同时P1<NG(P1).即P,P1都是NG(P1)的Sylowp−群,故P=P1,即∣X0∣=1.
例4.3.13.1)S4的共轭类例4.3.13. \quad 1)S_4的共轭类例4.3.13.1)S4的共轭类
2)设G=A4,求共轭类，Sylow  3−子群,Sylow  2−子群。2)设G=A_4,求共轭类，Sylow \; 3-子群,Sylow \; 2-子群。2)设G=A4,求共轭类，Sylow3−子群,Sylow2−子群。
例4.3.14.12阶群必有一个Sylow子群是正规的。例4.3.14. \quad 12阶群必有一个Sylow子群是正规的。例4.3.14.12阶群必有一个Sylow子群是正规的。
例4.3.15.72阶子群不是单群。例4.3.15.\quad 72阶子群不是单群。例4.3.15.72阶子群不是单群。
证:Sylow  3−子群有1个(正规)或4个。设X={P1,P2,P3,P4}为G的Sylow3−子群的集合。G在X上的(共轭)作用可递，故得到同态π:G→S4.kerπ为非平凡正规子群(理由)。证:Sylow \; 3-子群有1个(正规)或4个。设X = \lbrace P_1, P_2, P_3, P_4 \rbrace 为G的Sylow3-子群的集合。G在X上的(共轭)作用可递，故得到同态\pi:G \to S_4. \ker \pi 为非平凡正规子群(理由)。证:Sylow3−子群有1个(正规)或4个。设X={P1,P2,P3,P4}为G的Sylow3−子群的集合。G在X上的(共轭)作用可递，故得到同态π:G→S4.kerπ为非平凡正规子群(理由)。
定义4.3.16.称一个群为单群，如果它没有非平凡的正规子群。{\color{blue}定义4.3.16.}称一个群为{\color{blue}单群}，如果它没有非平凡的正规子群。定义4.3.16.称一个群为单群，如果它没有非平凡的正规子群。
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