2018年长沙理工大学第十三届程序设计竞赛 D zzq的离散数学教室1

题目描述

离散数学中有种名叫“哈斯图”的东西。

在这题中，你们需要计算的是一些正整数在偏序关系“整除”下的哈斯图的边数。用大白话讲，在偏序关系“整除”下的哈斯图，就是把一个个正整数看成一个个图的节点，某些节点之间有边。连边的规则是这样的：对于任意两个正整数a和b(a<b)来说，如果b%a==0,并且不存在一个正整数c（a<c<b），使得条件b%c==0和c%a==0同时成立，那么我们就在节点a和节点b之间连一条边。

现在问题是，给你们2个数L，R(1<=L,R<=1e6)。求由L，L+1，L+2...R这R-L+1个正整数在偏序关系“整除”下的哈斯图的边数。

比如L=1，R=4,节点的组合有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)。组合（1,2），（1,3），（2,4）可以连边。（1,4）因为中间存在c=2，不符合连边条件。所以当L=1，R=4的时候，这个哈斯图有3条边。

输入描述:

多组输入，不超过1000组数据
每组数据一行，包含2个正整数L和R，中间由空格分开。

输出描述:

每组数据输出一行，包含一个整数表示哈斯图的边数。

示例1

输入

1 4
4 10
1 10

输出

3
2
11

备注:

哈斯图（英语Hasse发音为/ˈhæsə/,德语: /ˈhasə/）、在数学分支序理论中，是用来表示有限偏序集的一种数学图表，它是一种图形形式的对偏序集的传递简约。
具体的说，对于偏序集合（S,≤），把S的每个元素表示为平面上的顶点，并绘制从x到y向上的线段或弧线，只要y覆盖x（就是说，只要x < y并且没有z使得x < z <y）。这些弧线可以相互交叉但不能触及任何非其端点的顶点。带有标注的顶点的这种图唯一确定这个集合的偏序。

解题思路：

比赛的时候看到这道题的时候，我想卧槽，离散数学的东西哎，我之前没学过，先放放吧。然后到比赛结束也没咋碰这题。

我觉得有些时候，我还是不怎么静下心来分析问题，因为只有分析，你才能找到解决问题的方法。

我在网上看了一下整除的高斯图该怎么画，然后我就按照那样画了画

我们以1，2，3，4，5，6，7，8，9，10为例，我们能得到满足b%a==0,并且不存在一个正整数c（a<c<b），使得条件b%c==0和c%a==0同时成立的边有

1--2 2--4 3--6 4--8 5--10

1--3 2--6 3--9

1--5 2--10

1--7

我们能从中找到一个规律就是如果a,b 满足b%a==0且不存在正整数c使得 b%c==0&&c%a==0的话，b/a是一个素数，

从上面的这些关系中我们就知道

1--2 2--4 3--6 4--8 5--10 //2

1--3 2--6 3--9//3

1--5 2--10//5

1--7//7

在1到10中，以2为乘积素数的边有5条，以3为乘积的边有3条，以5为乘积的边有2条，以7为乘积的边为1条，这些边，我们可以拿10/素数就能得到。如果我们是从1出发的话，那很好算，只需要拿相应的素数除一下就是个数了，然后我们求和一下。但是如果不是从1出发的尼，比如是从4到10那么对于每一个素数，留下来的边还有

4--8 5--10//2

//3

//5

//7

然而我们知道以2为乘积的边有5条的，留下了2条符合题意的，那么我们就可以知道当你边数大于等于下边界的时候，我们就可以拿这个边数减去（l-1)个然后累加求和就行了。

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=1e6+10;
int n,num[maxn],cnt,vis[maxn],l,r;
void find(){cnt=0;memset(vis,1,sizeof(vis));vis[1]=0;long long i,j;for(i=2;i<maxn;i++){if(vis[i]){num[cnt++]=i;}for(j=0;j<cnt&&num[j]*i<maxn;j++){vis[num[j]*i]=0;}    }
}
int main(){int i,j;find();while(scanf("%d%d",&l,&r)!=EOF){int ans=0;for(i=0;i<cnt;i++){int k=r/num[i];if(k>=l) ans+=(k-l+1);else break;}printf("%d\n",ans);}return 0;
}