Q-M（Quine-McCluskey）法化简布尔表达式

首先，对于一个布尔表达式，肯定可以用布尔代数里的那一系列定理和定律进行化简。但是，我想除非布尔表达式的项非常少且可化简项显而易见，否则应该没人会去用那一套方法。而且，就算你能化简，你也不一定能保证化简结果是最简的。
化简布尔表达式，首先想到的应该是卡诺图。卡诺图的操作方法非常简单，概括起来就是两字：画圈。而且，不只是画圈，还是画各种圈。对于3~4个变量组成的布尔表达式，运用卡诺图可以很快地化简。但是，当输入变量一多，光是构造一张卡诺图就很麻烦（对于10个变量，卡诺图就有 2 10 = 1024 2^{10}=1024 210=1024个项）。而且，卡诺图画圈的方法非常佛系，不利于算法实现。国外有个朋友写了一个卡诺图化简程序，使用的是C++语言。我下载下了试了一下，还是挺不错的。我用它来化简布尔表达式
F ( A , B , C , D , E ) = ∑ ( 2 , 3 , 7 , 9 , 10 , 11 , 12 , 13 , 18 , 19 , 22 , 23 , 26 , 27 , 30 , 31 ) F(A,B,C,D,E)=\sum(2,3,7,9,10,11,12,13,18,19,22,23,26,27,30,31) F(A,B,C,D,E)=∑(2,3,7,9,10,11,12,13,18,19,22,23,26,27,30,31)
结果如下：

注意一下这里的结果，我将用它来验证接下来要介绍的Q-M法化简的结果。
上面既然说了卡诺图的弊端——不利于算法实现。那么，接下来介绍一种利于算法实现的布尔表达式化简方法——Quine-McCluskey法，或者简称Q-M法。
其实，Q-M法的原理其实和卡诺图是一致的。只不过卡诺图用画圈的形式让化简更加直观通俗，而Q-M法的分组形式更利于程序化执行。下面给出Q-M法的化简步骤。
Q-M法分四步：

1、将布尔表达式的项按只含0个“1”，只含1个“1”，只含2个“1”，…，只含n个“1”（n为变量个数）划分为不同的Group，并按“1”的数量排列（升序或降序均可）成表；

2、准备一张新表。从含有最少数量的“1”的Group开始依次向下，将当前Group中的每一项与下一个Group的每一项比较。若两者只有一个变量不同，则将两项提取出来，并将不同的变量处用“-”标记，生成一个新的项。如果新的项在新表中已存在，则不执行动作；若不存在，则将这个新的项放到新表中的相应Group中。最后，在原表的两个Group中将提取的两项对应的“Subcube Covered”打上标记。

3、在新生成的表中，重复2，直到新表中不存在只有一个变量不同的项为止。

4、化简结果即为所有表中“Subcube Covered”未被标记的项的和。

说的好像很抽象，下面我们给出一个具体的例子来演示一下怎么操作。
还是以扔给卡诺图化简程序的布尔表达式为例：
F ( A , B , C , D , E ) = ∑ ( 2 , 3 , 7 , 9 , 10 , 11 , 12 , 13 , 18 , 19 , 22 , 23 , 26 , 27 , 30 , 31 ) F(A,B,C,D,E)=\sum(2,3,7,9,10,11,12,13,18,19,22,23,26,27,30,31) F(A,B,C,D,E)=∑(2,3,7,9,10,11,12,13,18,19,22,23,26,27,30,31)
先执行1：划分Group，结果如下：

下面进行2：提取只有一个变量不同的项，结果如下：

这步结束之后，我们可以在1的表中标记“Subcube Covered”列，结果如下：

接着，我们在2得到的新表中重复执行2，结果如下：

其中，红色标记的部分为Group中已经存在过的项。这里只是为了演示才将其列出，实际上它们将不被加入表中。
同样的，这一步结束后，可以更新上一步表中的“Subcube Covered”列，结果如下：

其中，黄色标记为未被标记的项。
接着，我们继续在新表中执行2，结果如下：

同样的，更新上一步表中的“Subcube Covered”列，结果如下：

这一步结束后，可以看出新表中已经没有只有一个变量相同的项了，于是算法结束，记得将最后得到的表中的所有项的“Subcube Covered”标上黄色，表示他们未被标记：

最后，Q-M法化简的结果即为所有表中所有未被标记的项的和：
r e s u l t = C ‘ D + A D + B ‘ D E + A ‘ B C ‘ E + A ‘ B D ‘ E + A ‘ B C D ‘ result=C^`D+AD+B^`DE+A^`BC^`E+A^`BD^`E+A^`BCD^` result=C‘D+AD+B‘DE+A‘BC‘E+A‘BD‘E+A‘BCD‘
比较这个结果和之前卡诺图程序化简的结果，可以发现Q-M法化简结果并不是最简。导致这种结果的原因显而易见。如果有多种化简结果，直接用Q-M法化简的到的未标记项包含所有化简结果的乘积项，直接相加的话必然会存在冗余。要解决这个冗余问题，就需要用到下面的素项表。

将所有“Subcube Covered”未被标记的项列在一张表中，并将包含的最小项做上标记：

其中，被标记为红色的项表示该列中只有一项。这就表示最后的化简结果中必须包含这个最小项，也就是必须包含这个最小项所在的项。
下面给出对素项表的操作：

1、对所有只包含一项的列（图中的红色标记）的项所在的行画横线，并对横线所经过的项画竖线。结果如下：

可以看出，进过这一步之后只有两项未被划线（图中框处的两项）。

2、找出为包含最大数量未被划线的项的行，若有多行，则必有多种化简结果，需要对每一行单独列出一种情况进行操作。

由于例子中只有两项未被标记，且分别位于两行。因此，这一步找到的行有两行，分别对应两种不同的化简结果。

3、对于2中的行，对其划横线，并对横线所经过的项画竖线。

两种结果分别如下：

4、若经过划线后还存在未划线项，继续2-3直到无未划线项为止。

5、最后的化简结果即为所有划横线的行对应的项的和。

本例中，有两种化简结果：
r e s u l t 1 = C ‘ D + A D + B ‘ D E + A ‘ B C ‘ E + A ‘ B C D ‘ result1=C^`D+AD+B^`DE+A^`BC^`E+A^`BCD^` result1=C‘D+AD+B‘DE+A‘BC‘E+A‘BCD‘
r e s u l t 2 = C ‘ D + A D + B ‘ D E + A ‘ B D ‘ E + A ‘ B C D ‘ result2=C^`D+AD+B^`DE+A^`BD^`E+A^`BCD^` result2=C‘D+AD+B‘DE+A‘BD‘E+A‘BCD‘
将这两种化简结果与卡诺图程序化简的结果相比较，可以发现两者是一样的。
最后，谈一谈对于无关项的处理。
在用Q-M法化简时，首选需要将所有无关项当“1”处理。但是到素项表时，在列中不将无关项列出。同时，也不将“Subcube Covered”未被标记的纯无关项（“MinTerms”中全部是无关项）列在行中。素项表的操作与前述一致。