物理光学-1.波动简介

1.波动的基本概念
2.波动的描述
3.描述波的物理量
4.平面谐波（一维谐波）的波函数
5.波的能量传输
6.波的干涉
- 干涉加强与减弱条件：
7.驻波
8.多普勒效应

1.波动的基本概念

波动是振动的传播过程，振动是形成波动的根源。

波动可以分为机械波、电磁波和物质波三类。机械振动的传播形成机械波，电磁扰动的传播形成电磁波，而物质波是一种概率波。

波动又可以分为横波和纵波。振动方向与传播方向平行的波称为纵波（弹簧振子的振动），振动方向与传播方向垂直的波称为横波（声波）。水波是由纵波和横波组合而成的一种椭圆形的混和波。

波动还可以分为标量波和矢量波，密度波为标量波，位移波为矢量波。

2.波动的描述

波线。表示波的传播方向。
波面。波场中振动相位相同的点所组成的曲面叫做波面，波面推进的速度就是波速，在一系列波面中，位于最前面的领先波面叫做波前（Wave Front)。按照波面形状的不同，波可以分为球面波、柱面波和平面波等。
惠更斯原理：波前上的每一点都可以看作是发射次级球面子波的波源，新的波前就是这些次级子波波前的包络面。当波在同一种介质中传播时，波面和波前的形状不会发生改变，波线也不会改变；但是当波从一种介质传到另一种介质时，波面的形状将会发生改变，波线也会发生改变。

3.描述波的物理量

周期 T
(时间)频率ν=1T\nu={1\over{T}}ν=T1
(时间)角频率ω=2πν=2π/T\omega=2\pi \nu=2\pi/Tω=2πν=2π/T
波长 λ\lambdaλ
(空间)频率ν~=1λ\widetilde{\nu}={1\over{\lambda}}ν=λ1
(空间)角频率k=2πν~=2π/λk=2\pi \widetilde{\nu}=2\pi/\lambdak=2πν=2π/λ
波速u，是波传播的相速度

上式中：
u=λT=νλu={\lambda\over T}=\nu \lambda u=Tλ=νλ

频率由波源决定，波速由传播波的介质决定，而波长则由波源和介质共同来制约。

4.平面谐波（一维谐波）的波函数

Ψ(x,t)=Acos[ω(t∓xu)+ψ]\Psi(x,t)=Acos[\omega(t\mp{x\over u})+\psi] Ψ(x,t)=Acos[ω(t∓ux)+ψ]
其中Δt=xu\Delta t={x\over u}Δt=ux，+表示下Δt后的波形；-表示Δt前的波形。

ψ\psiψ表示振动初相。

当x为常数时，就可以得到某一位置处的振动函数；当t为常数时，就可以得到某时刻的波形图。

这只是平面波的一个特例，而具有普适性的平面波函数为：
∂2y∂x2=1u2∂2y∂t2{{\partial ^2y}\over{\partial x^2}}={{1}\over{u^2}}{{\partial ^2y}\over{\partial t^2}} ∂x2∂2y=u21∂t2∂2y

5.波的能量传输

根据一维谐波的波函数，可以得到一小段质元中的动能为：
ΔEk=1/2ρΔVω2A2sin2ω(t−xu)\Delta E_{k}=1/2\rho\Delta V \omega^2 A^2 sin^2 \omega(t-{x\over u}) ΔEk=1/2ρΔVω2A2sin2ω(t−ux)
一小段质元中的势能为：
ΔEp=1/2ρΔVω2A2sin2ω(t−xu)\Delta E_{p}=1/2\rho\Delta V \omega^2 A^2 sin^2 \omega(t-{x\over u}) ΔEp=1/2ρΔVω2A2sin2ω(t−ux)
所以一小段质元中的能量为：
ΔE=ΔEk+ΔEp=ρΔVω2A2sin2ω(t−xu)\Delta E=\Delta E_{k}+\Delta E_{p}=\rho\Delta V \omega^2 A^2 sin^2 \omega(t-{x\over u}) ΔE=ΔEk+ΔEp=ρΔVω2A2sin2ω(t−ux)
它对于横波和平面谐波同样适用。

波的能量密度： 波场中单位体积介质中所蕴含的能量称为波的能量密度。

w(x,t)=ΔEΔV=ρω2A2sin2ω(t−xu)w(x,t)={\Delta E \over \Delta V}=\rho \omega^2 A^2 sin^2 \omega(t-{x\over u}) w(x,t)=ΔVΔE=ρω2A2sin2ω(t−ux)

平均能量密度：能量密度对时间的平均值。

wˉ=1T∫0Tρω2A2sin2ω(t−xu)dt=ρω2A2[1T∫0Tsin2ω(t−xu)dt]\bar{w}={1\over T}\int^T_{0} \rho \omega^2 A^2 sin^2 \omega(t-{x\over u}) dt =\rho \omega^2 A^2[{1\over T}\int^T_{0} sin^2 \omega(t-{x\over u}) dt] wˉ=T1∫0Tρω2A2sin2ω(t−ux)dt=ρω2A2[T1∫0Tsin2ω(t−ux)dt]
正弦函数的平方在一个周期内的平均值为1/2，所以，波的平均能量为
wˉ=12ρω2A2\bar{w}={1\over 2}\rho \omega^2 A^2 wˉ=21ρω2A2

波的能流：单位时间通过某界面的能量。即为波场中通过某一界面S的平均功率。

P=wΔSuΔtΔt=wΔSuP={{w\Delta S u\Delta t}\over{\Delta t}}=w\Delta S u P=ΔtwΔSuΔt=wΔSu
P=wΔSu=ΔSρuω2A2sin2ω(t−xu)P=w\Delta S u=\Delta S \rho u \omega^2 A^2 sin^2 \omega(t-{x\over u}) P=wΔSu=ΔSρuω2A2sin2ω(t−ux)
波的平均能流为：
Pˉ=12ΔSρuω2A2\bar{P}={1\over 2}\Delta S\rho u \omega^2 A^2 Pˉ=21ΔSρuω2A2

波的强度：单位时间内通过单位垂直界面所传递的平均能量，通常将波的强度看成矢量，以便反应能量传播的方向。

I=PˉΔS=12ρuω2A2I={\bar{P}\over{\Delta S}}={1\over 2}\rho u \omega^2 A^2 I=ΔSPˉ=21ρuω2A2

弹性介质的特性阻抗：Z=ρuZ=\rho uZ=ρu

由波的强度及功率的定义可知，二者具有如下关系：
P=∫SI⋅dSP=\int_{S}I·dS P=∫SI⋅dS

波源的功率等于包围波源的闭合曲面S上的功率： P=∮SI⋅dSP=\oint_{S}I·dS P=∮SI⋅dS

波在传播过程中，其强度有可能发生衰减。造成衰减的原因一是介质对波能的吸收，二是波束截面的扩大。

6.波的干涉

在几列波相遇的区域内，任一点的振动为各波列单独在该点所引起的各个振动的合成，这一结论叫做波的叠加原理。

满足一定条件的两列波在空间中相遇叠加时，交叠区中某些地方的合振动始终加强，而另一些地方的合振动始终减弱的稳定叠加现象叫做波的干涉，能够产生干涉现象的两列波叫做相干波。

产生相干波的条件是：频率相同，振动方向相同，相位差恒定。

干涉加强与减弱条件：

当相位差为2π的整数倍时，合成振幅最大，合振动加强，故干涉加强条件为：
Δψ=ψ2−ψ1−2πr2−r1λ=±2kπ\Delta \psi=\psi_{2}-\psi_{1}-2\pi{{r_{2}-r_{1}}\over{\lambda}}=\pm2k\pi Δψ=ψ2−ψ1−2πλr2−r1=±2kπ
当相位差为2π的整数倍时，合成振幅最大，合振动加强，故干涉减弱条件为：
Δψ=ψ2−ψ1−2πr2−r1λ=±2kπ\Delta \psi=\psi_{2}-\psi_{1}-2\pi{{r_{2}-r_{1}}\over{\lambda}}=\pm2k\pi Δψ=ψ2−ψ1−2πλr2−r1=±2kπ

当两相干波源为同相波源时，ψ1=ψ2，此时相位差为Δψ=2πr2−r1λ\Delta \psi=2\pi{{r_{2}-r_{1}}\over{\lambda}}Δψ=2πλr2−r1，式中的r1−r2r_{1}-r_{2}r1−r2为两相干波在相遇点的波程差，以δ表示，即
δ=r1−r2\delta=r_{1}-r_{2} δ=r1−r2
故相位差与波程差的关系为
Δψ=2πδλ\Delta \psi=2\pi{\delta \over \lambda} Δψ=2πλδ
故用波程差来表示干涉加强、减弱条件为：
δ={±2kλ2±(2k+1)λ2(k=0,1,2,...)\delta= \begin{cases}\pm2k{\lambda\over 2}\\ \pm(2k+1){\lambda\over 2} \end{cases}\qquad(k=0,1,2,...) δ={±2k2λ±(2k+1)2λ(k=0,1,2,...)
由此可见，波程差δ\deltaδ每变化半个波长，波场中合振动的强弱就变化一次。

7.驻波

驻波也是一种干涉现象，但它又不同于一般的干涉现象。它是由沿相反方向传播的两列等幅相干波叠加而成的。乐器中存在很多这样的现象。连续介质中各质元原地振动而不向前传播的运动状态叫做驻波，波场中始终静止不动的各点成为驻波的波节，而将振幅最大的各点成为驻波的波腹。

著名的克拉尼图形便是一种平面驻波。

一维驻波表达式：
两个反向传播的等幅相干波的波函数分别为：
y1=Acosω(t−xu)y_{1}=Acos\omega(t-{x\over u}) y1=Acosω(t−ux)
y2=Acosω(t+xu)y_{2}=Acos\omega(t+{x\over u}) y2=Acosω(t+ux)
则合成波为：
y=y1+y2=2Acosωux⋅cosωt=2Acos2πxλx⋅cosωty=y_{1}+y_{2}=2Acos{\omega\over u}x·cos\omega t=2Acos{2\pi {x\over \lambda}}x·cos\omega t y=y1+y2=2Acosuωx⋅cosωt=2Acos2πλxx⋅cosωt
Δψ=2πδλ\Delta \psi=2\pi{\delta \over \lambda} Δψ=2πλδ

半波损失： 当反射端是固定的时候，相当于有半个波长π的半波损失。除此之外，当波从波疏介质近似垂直入射到波密介质界面反射时，有半波损失；反之，当波从波密介质近似垂直入射到波疏介质界面反射时，无半波损失。对于电磁波来说，上述规律同样适用。

8.多普勒效应

机械波没有横向多普勒效应。只有纵向多普勒效应。
νR=u+νRu−νSνS\nu_{R}={{u+\nu_{R}}\over{u-\nu_{S}}}\nu_{S} νR=u−νSu+νRνS

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