算法是解决特定问题求解步骤的描述, 在计算机中表现为指令的有限序列, 并且每条指令表示一个或多个操作.

算法特性: 算法具有五个基本特性: 输入 输出 有穷性 确定性 可行性.

1. 输入输出: 算法具有零个或多个输入, 至少有一个或多个输出.

   • 如打印 “hello word” 这样的代码不需要任何输入参数. 如果算法不输出就没意义了.

2. 有穷性: 指算法在执行有限的步骤之后, 自动结束而不会出现无限循环, 并且每一个步骤在可接受的时间内完成.

   • 如果一个算法执行100年也没有意义了

3. 确定性: 算法的每一步骤都具有确定的含义, 不会出现二义性.

   • 算法在一定条件下, 只有一条执行路径, 相同的输入只能有唯一的输出结果.算法的每个步骤被精确定义而无歧义.

4. 可行性: 算法的每一步都必须是可行的, 也就是说, 每一步都能够通过执行有限次数完成.

   • 可行性意味着算法可以转换为程序上机运行.

算法设计要求

1. 正确性: 算法的正确性是指算法至少应该具有输入/输出和加工处理无歧义性, 能正确反映问题的需求, 能够得到问题的正确答案.

• 算法的正确分为以下四个层次:

  (1) 算法程序没有语法错误

  (2) 算法程序对于合法的输入数据能够产生满足要求的输出结果.

  (3) 算法程序对于非法的输入数据能够得出满足规格说明的结果.

  (4) 算法程序对于精心选择的, 甚至刁难的测试数据都有满足要求的输出结果.

1. 可读性: 算法设计的另一目的是为了便于阅读 理解 交流.

• 我们写代码的目的, 一方面是为了让计算机执行, 而便于他人阅读也很重要, 自己将来也可能阅读, 如果可读性不好时间长了自己都不知道自己写的什么. 可读性是算法好坏很重要的标志.

1. 健壮性: 当输入数据不合法时, 算法也能作出相关处理, 而不是产生异常或莫名其妙的结果.

• 如输入的时间或者距离不应该是负数.

1. 时间效率高和存储量低

• 时间效率是指算法的执行时间, 如果有多个算法能够解决问题, 那么执行时间短的算法效率高.
• 存储量需求指的是算法在执行过程中需要的最大存储空间, 主要指算法程序运行时所占用的内存或外部硬盘存储空间.

算法效率的度量方法

1. 事后统计方法: 这种方法主要是通过设计好的测试程序和数据, 利用计算机计时器对不同算法编制的程序的运行时间进行比较, 从而确定算法效率的高低.

• 缺陷:

  (1) 必须依据算法实现编制好程序, 需要花费大量的时间和精力.

  (2) 时间的比较依赖计算机硬件和软件等环境因素, 有时会掩盖算法本身的优劣.

  (3) 算法的测试数据设计困难, 并且程序的运行时间往往还与测试数据的规模有很大关系. 往往测试需要很大的数据量.

1. 事前分析估算方法: 在计算机程序编制前, 依据统计方法对算法估算.

• 经过分析, 一个用高级编程语言编写的程序在计算机上运行时所消耗的时间取决于以下因素:

  (1) 算法采用的策略 方法.

  (2) 编译产生的代码质量.

  (3) 问题的输入规模.

  (4) 机器执行指令的速度.

• 总结: 一个程序的运行时间, 依赖于算法的好坏和问题的输入规模.

函数的渐进增长: 给定俩个函数f(n)和g(n), 如果存在一个整数N, 使得对于所有的n>N, f(n)总是比g(n)大, 那么, 我们说f(n)的增长渐近快于g(n).

• 输入规模n 在没有限制的情况下, 只要超过一个数值N, 这个函数就总是大于另一个函数, 我们称函数是渐近增长的.

• 结论:

  (1) 判断一个算法的效率时, 函数中的常数和其他次要项可以忽略, 而更应该关注主项(最高阶项)的阶数.

  (2) 某个算法, 随着n的增大, 他会越来越优于另一算法, 或者越来越差于另一算法.

算法时间复杂度: 在进行算法分析时, 语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数, 进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级. 算法的时间复杂度, 也就是算法的时间量度, 记作:T(n) = O(f(n)). 他表示随问题规模n的增大, 算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同,称作算法的渐近时间复杂度, 简称为时间复杂度.其中f(n)是问题规模n的某个函数.

• 这样用大写O()来体现算法时间复杂度的记法, 我们称之为大O记法.
• 一般情况下, 随着n的增大, T(n)增大最慢的算法为最优算法.
• 个人理解T(n)的值就是一个算法的执行次数, 而执行次数又和算法本身和n值相关.

推导大O阶方法

• 那么如何分析一个算法的时间复杂度呢? 即如何推导大O阶呢?

  (1) 用常数1 取代运行时间中的所有加法常数.

  (2) 在修改后的运行次数函数中, 只保留最高阶项.

  (3) 如果最高阶项存在且不是1, 则去除与这个项相乘的常数.

常数阶

• 高斯算法为什么时间复杂度不是O(3) 而是O(1)?
• 这个算法的运行次数是函数f(n) = 3, 根据推导大O阶的方法, 第一步是把常数项3改为1, 在保留最高阶项时发现, 他根本没有最高阶项, 所以算法的时间复杂度是O(1).

线性阶

• 线性阶的循环结构会复杂很多.要确定某个算法的阶次, 我们常常需要确定某个特定语句或某个语句集运行的次数, 因此我们要分析算法的复杂度, 关键就是要分析循环结构的运行情况. 如下, 它的循环的时间复杂度为O(n) , 因为循环体中的代码要执行n次.

    for (int i = 0; i < n; i++) {// 时间复杂度为O(1)的程序步骤序列}
  复制代码

对数阶

int count = 1;
while (count < n) {count = count * 2;// 时间复杂度为O(1)的程序步骤序列}
复制代码

由于每次count乘以2之后, 就距离n更近一分, 也就是说, 有多少个2相乘后大于n才会退出循环. 所以

所以这个循环的时间复杂度为O(x)

平方阶

int i, j;for (i = 0; i < n; i++) {for (j = 0; j < n; j++) {// 时间复杂度为O(1)的程序步骤序列}}
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• 内层循环的时间复杂度为O(n), 而对于外层的循环, 不过是内部这个时间复杂度为O(n)的语句再执行n次, 所以这段代码的时间复杂度为O(n的二次幂). (O(n * n))

常见的时间复杂度

• 常用的时间复杂度所耗费的时间从小到大是:

最坏情况与平均情况 : 最坏情况运行时间是一种保证, 那就是运行时间将不会再坏了. 在应用中, 这是一种最重要的需求, 通常, 除非特别指定, 我们提到的运行时间都是最坏情况的运行时间.

• 如我们查找一个有n个随机数字数组中的某个数字, 最好的情况就是第一个数字就是, 那么算法的时间复杂度是O(1), 但是如果最后一个数字是, 那么算法的时间复杂度为O(n), 这是最坏的一种情况.

算法空间复杂度: 算法的空间复杂度通过计算算法所需的存储空间实现, 算法空间复杂度计算公式即作: S(n) = O(f(n)), 其中, n为问题的规模, f(n)为语句关于n所占存储空间的函数.

• 若算法执行时所需的辅助空间相对于输入数据量而言是个常数, 则称此算法为原地工作, 空间复杂度为S(1).

愚公移山固然可敬, 但发明炸药和推土机可能更加实在和聪明. 不学习可以生活, 但学习可以改变生活.