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LeetCode 面试题62. 圆圈中最后剩下的数字^[1]

题目描述

这

个数字排成一个圆圈，从数字

开始，每次从这个圆圈里删除第

个数字。求出这个圆圈里剩下的最后一个数字。

例如，

这

个数字组成一个圆圈，从数字

开始每次删除第

个数字，则删除的前

个数字依次是

，因此最后剩下的数字是

。

示例1

输入：
n = 5, m = 3
输出：
3

示例2

输入：
n = 10, m = 17
输出：
2

说明：

• 
  
  
  

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

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题解

循环链表

用一个循环链表按顺序存储

到

中的数，然后每

个数删除掉链表中的一个结点，最后剩下的数就是答案了。

这种方法时间复杂度是

，显然太高了，所以这里也不会给大家实现代码。

递推法

首先

个人的编号依次是

，然后踢掉了编号为

的人，这时候剩下的人编号为

。

下一个踢掉的人就要从

开始数了，所以我们把剩下的人编号从

开始重新排个序，变成

。这样编号又变成连续的了，而问题规模缩减成了

个人。

剩下的这

个人的编号我们做一下映射，映射成

，这样就能递推下去求解了。映射的公式就是，映射后的编号为

，那么映射之前的编号就是

。

也就是说，如果我们求出了

个人最后剩下的人编号

，那么

个人最后剩下的人编号就是

。

用

表示

个人最后剩下的人编号，那么就有：

这样的话时间复杂度就降到了

。

对于本题这个方法已经够用了，但是如果

非常大，比如

，但是

不是很大，比如

，那么这时候这种方法就会超时了。具体的题目请自行百度 HDU 3089 。

递推法加速

注意观察上面的递推式

，如果

很小，而

很大的话，递推到后面要加很多次

才会对

求余。所以我们可以直接一下子加很多次

，然后再求余，这样就能加速了。

加了

次

之后，递推式变成了：

假设加了

次

之后才产生了取余，那么就有

，即

。所以每次都可以加

个

，代码实现时用下取整，也就是

。

此外还需要注意，如果发现

，也就是后面都不需要取余了，那么就直接一步加到底，退出循环得到答案。

这个方法时间复杂度不是很好分析，但应该也是对数级别的。

数学法

这个方法在我之前的文章中已经讲过了：

具体数学-第8课（取整进阶）

韦阳的博客：具体数学-第8课（取整进阶）^[2]

知乎专栏：具体数学-第8课（取整进阶）^[3]

知乎高赞回答也整理过了一遍：

世界上有哪些代码量很少，但很牛逼很经典的算法或项目案例？^[4]

大致思想也是重新编号，做编号映射，但是和上面递推法不同的是复杂度降到了对数级别。

这里就不详细讲了，大家可以去看上面的文章，这里直接给出伪代码：

D = 1
while D <= (m-1)n:D = k
ans = mn+1-D

其中

。

不过这个这里的编号是

到

，所以最后答案要减去

。

这种方法将时间复杂度降到了

，用对数换底公式后得到 。

可以看出，这种方法适用于

特别大，但是

特别小的情况。否则的话如果

很大，分母会非常小，导致复杂度非常高。

代码

递推法（c++）

class Solution {
public:int lastRemaining(int n, int m) {int last = 0;for (int i = 2; i <= n; ++i) {(last += m) %= i;}return last;}
};

递推法加速（c++）

class Solution {
public:int lastRemaining(int n, int m) {if (m == 1) return n-1;int last = 0, t = 1;for (int i = 2; i <= n; i+=t) {t = (i-last+m-3) / (m-1);if (i+t-1 > n) {last += (n-i+1)*m;break;}(last += t*m) %= (i+t-1);}return last;}
};

数学法（c++）

class Solution {
public:int lastRemaining(int n, int m) {long D = 1, end = (long)n*(m-1);while (D <= end) {D = (m*D+m-2) / (m-1);}return (long)n*m-D;}
};

参考资料

[1]

LeetCode 面试题62. 圆圈中最后剩下的数字: https://leetcode-cn.com/problems/yuan-quan-zhong-zui-hou-sheng-xia-de-shu-zi-lcof/

[2]

韦阳的博客：具体数学-第8课（取整进阶）: https://godweiyang.com/2018/04/16/concrete-math-8/

[3]

知乎专栏：具体数学-第8课（取整进阶）: https://zhuanlan.zhihu.com/p/35820332

[4]

世界上有哪些代码量很少，但很牛逼很经典的算法或项目案例？: https://www.zhihu.com/question/358255792/answer/974983270

作者简介：godweiyang，知乎同名，华东师范大学计算机系硕士在读，方向自然语言处理与深度学习。喜欢与人分享技术与知识，期待与你的进一步交流~

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