初等数论中的欧拉公式

　　求小于n的数里，与n互为素数的个数

一.

　　奇数和偶数是否一定互素（排除1，不是比如6和9）；1和不和任意数互素(比如6采用欧拉定理验证下)。

　　若n已经进行唯一分解，直接欧拉公式。

　　如果n的标准素因子分解式是p1^a1*p2^a2*……*pm^am，其中众pj(j=1,2,……,m)都是素数，而且两两不等。则有 φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pm) 利用容斥原理可以证明它。

二.不知唯一分解

 1 #include<iostream>
 2 #include<stdio.h>
 3 using namespace std;
 4
 5 int main()
 6 {
 7     int n,i;
 8     double sum;
 9     while(scanf("%d",&n)&&n)
10     {
11         sum=n;
12         //还是运用了欧拉公式
13         if(n%2==0)//2也是素数
14         {
15             sum*=(double)(1 - 1.0/2);//为了突出关系写成了 (1 - 1.0/2) ,里面一定是1.0
16             while(n%2==0)
17                 n/=2;
18         }
19
20         /*类似筛法的思想，已经去掉了2及其倍数，下面找奇因子，必须从小到大枚举，
21         3枚举到的话立马除尽3及其倍数防止再次枚举9（这样就不对了）
22         */
23         for(i=3;n>1;i+=2)
24         {
25             if(n%i==0)
26                 sum*=(1-(double)1/i);
27             while(n%i==0)
28                 n/=i;
29         }
30         printf("%d\n",(int)sum);
31     }
32     //while(1);
33     return 0;
34 }

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