排队论模型的monteCarlo法仿真

一.问题的提出
二.问题的分析
三.代码实现
四.结果

在我们的生活中，排队的现象几乎处处可见。看似毫无规则的排队模型其实里面蕴藏者很大的学问。比如说在一般的排队问题中，人们到达某个地方的时间间隔近似服从指数分布。而这篇博文的目的就是为了找出蕴藏在排队论中的一般规律，用monteCarlo法找到我们想要的结果。

一.问题的提出

在某个银行的窗口只有一个服务窗口，工作人员逐个接待顾客。当顾客的数目比较多的时候需要排队等待。此时我们可以假设第iii个顾客和第i−1i-1i−1个顾客到来的间隔时间xi∼E(0.1)x_i \sim E(0.1)xi∼E(0.1)，即是服从参数为0.10.10.1的指数分布。而第iii个顾客的服务时间服yiy_iyi从均值为101010，方差为222的正态分布(单位为minminmin，少于1minminmin按1minminmin算。)排队依靠先到先得的原则，不限制队伍长度，每天的工作时间为888小时(480min480min480min)。模拟求出一年内平均的日接待客户的个数和日平均等待时间。

二.问题的分析

让我门对一天之内的排队过程进行一个细致的分析。做出以下的符号假设：

若设CiC_iCi:第iii个顾客的到达时刻，那么任意两个顾客之间的到达时间间隔就服从泊松分布：
Ci=Ci−1+xix∼E(0.1)C_i = C_{i-1}+x_i\\ x\sim E(0.1) Ci=Ci−1+xix∼E(0.1)
其中第一个顾客到来之前没有人来，所以C0=0C_0 = 0C0=0。

再设BiB_iBi:第iii个顾客来办理业务的时刻，注意因为可能需要排队，所以BiB_iBi可能不等于CiC_iCi。

然后再设EiE_iEi:第iii个顾客办理完业务的时刻。所以有：
Ei=Bi+yiyi∼N(10,2)(yi=1,ifyi≤1)E_i = B_i+y_i\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \qquad y_i \sim N(10,2)(y_i = 1,\ if \quad y_i \leq 1) Ei=Bi+yi yi∼N(10,2)(yi=1, ifyi≤1)
其中第iii个顾客办理业务必须得在自己来了之后等上一个人弄完，否则就无法办理业务。说明：
Bi=max{Ei−1,Ci}B_i = max\{E_{i-1},C_i\} Bi=max{Ei−1,Ci}
对于第一个人来说到了就可以马上办理业务：B1=C1B_1 = C_1B1=C1。

执行以上的迭代知到Bi≥480B_i\geq480Bi≥480为止。求出此时的iii作为平均等待人数。

此时的平均等待时间为:
Ti=480miniT_i = \frac{480 min}{i} Ti=i480min

因此我们可以仿真365天每天的结果用monteCarlo方法求出平均等待时间和平均等待人数。
T‾=1365∑j=1365Tji‾=1365∑j=1365ij\overline T = \frac{1}{365}\sum_{j = 1}^{365}T_j\\ \overline i = \frac{1}{365}\sum_{j = 1}^{365}i_j T=3651j=1∑365Tji=3651j=1∑365ij

三.代码实现

%基于排队论模型的montecarlo方法应用
clc,clear;
days = 365;%一年有365天
peopleNumbers = zeros(1,days);
waitTime = zeros(1,days);
for j = 1:daysx(1) = exprnd(10);%x(i):第i-1个顾客和第i个顾客到达时间的间隙c0 = 0;%c(i)：第i个顾客到达的时间c(1) = c0+x(1);b(1) = c(1);%b(i):第i个顾客开始服务的时间y(1) = normrnd(10,2);%y(i):第i个顾客持续服务的时间e(1) = b(1)+y(1);%e(i):第i个顾客结束服务的时间i = 1;while b(i)<=480%一天工作8小时i = i+1;x(i) = exprnd(10);y(i) = normrnd(10,2);if y(i) <= 1y(i) = 1;endc(i) = c(i-1)+x(i);b(i) = max(c(i),e(i-1));e(i) = y(i) + b(i);endpeopleNumbers(j) = i - 1;waitTime(j) = 480/peopleNumbers(j);
end
hold on
grid on
for j = 1:dayspeopleNumbersAll(j) = sum(peopleNumbers(1:j))/j;waitTimeAll(j) = sum(waitTime(1:j))/j;
end
plot(1:days,peopleNumbersAll,'r-');
plot(1:days,waitTimeAll,'b-');
xlabel('时间/天');
ylabel('日均等待时间/等待人数');
legend('日均等待人数','日均等待时间');
disp('这一年内的平均等待人数：');
disp(sum(peopleNumbers)/days);
disp('这一年内人们的平均等待时间：');
disp(sum(waitTime)/days);
hold off

四.结果

%这一年内的平均等待人数：%  42.8027%这一年内人们的平均等待时间：
%   11.3253

每天的等待人数和等待时间如下：

用大数定律求得的平均等待时间的进化过程为：