一，有理数的概念：整数和分数统称为有理数。

有理数方法1.按定义分类：

方法2，按符号分类

正分数，负分数统称为分数。

二，数轴

数轴的三要素

三，相反数

基本概念

多重符合化简

探索总结：

四，绝对值

方法

有理数比较大小的方法

五，有理数的加减乘除

有理数的加减法

有理数的加法

有理数的减法

有理数的乘除法

乘法

除法

六，有理数乘方&科学记数与近似数

有理数的乘方

有理数的混合运算

科学计数法与近似数

七，初略总结

数轴：一条定义了正方向，原点和长度单位的线，叫做数轴

相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，如：−a=a 0的绝对值还是0编辑

相反数和相反意义的数是不一样的，相反意义表示只要符号相反即可

绝对值：是指一个数在数轴上所表示的对应点到原点的距离叫做这个数的绝对值，绝对值用“||”来表示。|a|

有理数加减:

有理数加减混合运算基本小结

有理数的乘除法：

乘法法则

除法法则：

有理数的混合运算

有理数的乘方

科学计数法

一，有理数的概念：整数和分数统称为有理数。

有理数方法1.按定义分类：

正整数，0，负整数统称为整数；

方法2，按符号分类

正分数，负分数统称为分数。

0是整数也是有理数即是自然数

小数化分数的时候，应该要化为10，100，1000.........为分母的数

如11.111 化为分数就是1000分之11111

二，数轴

数轴的定义：数轴（number axis）规定了原点（origin），正方向和单位长度的一条直线叫数轴。所有的实数都可以用

在数学中，可以用一条直线上的点来表示数，这条线就叫做数轴

数轴它满足以下要求：

(1)在直线上任取一个点表示0这个点叫做原点(origin);

(2)通常规定直线上从原点向右(或上)为正方向，从原点向左(或下)为负方向;

(3)选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示 1(向右1个单位长度)，2(向右2个单位长度)，3(向右3个单位长度)，…;从原点向左，用类似方法依次表示-1(向左1个单位长度)，-2(向左2个单位长度)，-3(向左3个单位长度)…

数轴的画法：画一条直线，规定一个原点，再选取一个适当的长度单位（实数）画点

注意点：实数和数轴是不分离的，模范夫妻一对一的一个存在（实数）

数轴的三要素

一个数轴的三要素分别是：原点，长度单位，正方向

利用数轴可以比较有理数的大小，数轴上从左往右的点表示的数就是按从小到大的顺序。

如何在数轴上画出表示一个数的点呢？

首先需要根据已知数的符合确定表示这个数的原点在哪边,

其次，从原点沿相应的放心确定它与原点相距的几个单位长度，从而确定这个点的位置！最后，在这个点上边写上对应的字母（或下边写上对应的数即可）

目前所有的有理数都可以在数轴上用点来表示

三，相反数

数值相反的两个数，我们就说其中一个数是另外一个数的相反数。

定义:只有符合不同的两个数互为相反数

注意点:0的相反数是0。

例如:-2与+2互为相反数。用字母表示a与-a是相反数

这里a便是任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0.

基本概念

相反数

相反数特性:若a.b互为相反数，则a+b=0，反之若a+b=0，则a、b互为相反数。
相反数是成对出现，不能单独出现。
要把"相反数"与"相反意义的量"区分开来。
"相反数"不但是数的符号相反，而且符号后面的数字必须相同，如同:+2与-2。
而"具有相反意义的量"只要符号相反即可，如+2与-5。
求一个数的相反数只需这个数前面加上一个负号就可以了，若原数带有符号(不论正负)，则应先添括号。
数字a的相反数是-a，-a的相反数是a。这里的a不一定是正数（a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0.），所以-a也不一定就是负数。

例如: a=0 时，则-a=0，即a= -a

a<0时，则-a>0，即a<-a

a>0时，则-a<0，即a>-a

多重符合化简

求一个数的相反数只需这个数前面加上一个负号就可以了，若原数带有符号(不论正负)，则应先添括号

例子：

-12读作“负12”，结合前面相反意义的学习，还可以赋予-12怎样的意义呢？我们可以把负12 理解为：12的相反数

类比

-15看作：15的相反数

-15 = -15

-（-15）可以看作：15的相反数的相反数

所以-（-15）= 15

-[ - ( -15 )]可以看作：15的相反数的相反数的相反数感觉像在无限套娃

所以-[ - ( -15 )] = -15

那么：- [+ ( -15 )]可以看作什么呢？

分析：根据前面学习的知道，一个正数的符号可以省略

所以：- [+ ( -15 )] = - (-15)

-[+ ( -15 )]可以看作:15的相反数的相反数

-[+ ( -15 )] = 15

探索总结：

-15 = -15

-（-15）= 15

-[ - ( -15 )] = -15

-[+ ( -15 )] = 15

一个正数前面不管有多少个“+”号，都可以全部省略
一个正数前面偶数个”-“号，则化简后把”-“号一起去掉
一个正数前面奇数个”-“号，则化简后保留一个”-“

四，绝对值

绝对值：一般的是指一个数在数轴上所表示的对应点到原点的距离叫做这个数的绝对值，绝对值用“||”来表示的：|a|

例子：

36 的绝对值是 36 为什么？因为它距离原点的长度是36

-36的绝对值是36的相反数= 36，为什么？因为距离就是36！

0的绝对值就是它本身，距离也是0

以此来判断可以发现一个规律

任何有理数的绝对值都是大于0或等于0的数简称：有理数的绝对值都是非负数

方法

结合有理数分为正数，负数和0，结合数轴，我们可以将求一个有理数的绝对值方法概况为：

一个正数的绝对值是它本身：若a≥0; 则|a|=a;

一个负数的绝对值是它的相反数：若a<0; 则|a|=-a（a的相反数）；

0的绝对值是0 若a=0；则|a|=-a；

互为相反数的两个数的绝对值相等

重要结论：任何一个有理数a的绝对值总是非负数

符合表示：|a|≥ 0

有理数比较大小的方法

代数方法

正数大于0，负数小于0，正数大于负数

两个正数，绝对值大的数较大

两个负数，绝对值大的数反而小

异号两数比较大小，要考虑它们的正负，同号两数比较大小，要考虑它们的符号和绝对值

几何方法

利用数轴，数轴上左边的点表示的数比右边点表示的数小

五，有理数的加减乘除

有理数的加减法

有理数的加法

将一个或多个有理数的值相加的过程叫有理数的加法！

有理数加法的运算结果必然是有理数的。

如果有两个有理数做加法运算，试着思考一下会有几种情况？

正有理数 + 正有理数         正有理数 + 0         正有理数 + 负数

0 + 正有理数         0 + 0         0 + 负有理数

负有理数 + 正有理数         负有理数 + 0         负有理数 + 负有理数

可以发现有9种情况

小学学过的有

正有理数 + 正有理数正有理数 + 0 0 + 0

中学要学的数有

负有理数 + 负有理数负有理数 + 正有理数负有理数 + 0

三种类型：

同号相加

（-8）+ （-4）= -12

负有理数 + 负有理数

异号相加

8+ （-5） = 3 （-8） + 5 = -3

负有理数 + 正有理数

一个数与0相加仍得这个数

0 + 有理数 = 有理数

注：可以利用数轴更加直观的去理解

要点规律

同号相加不变,异号相加变减.欲问符号怎么定,绝对值大号选

加法法则

加法:同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加; 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值; 一个数同零相加，仍得这个数。

有理数的减法

有理数的减法法则

减去一个数，等于加上这个数的相反数

符合表示为：a-b = a +(-b)

例子：(-2) - (-3) = (-2) + 3数轴

(-2) - (-3) = 1

如果大数减小数，那么大数减小数的差大于0；如果 a>b,那么a - b > 0

如果小数减大数，那么大数减小数的差小于0；如果 a<b,那么a - b < 0

如果相同两个数相减，差就等于0：

a等于b=0 (-3) - (-3) = 0

a和b互为相反数 = 两数绝对值相加 (-3) - 3 = -6 或 3 - (-3) = 6 不同的操作顺序结果也不同

减法的注意步骤！

首要要统一转化成加法运算

注意运算符合的变化

运算律简便计算

分数的运算要先通分再计算最终结果要化成最简形式

加减混合运算

加减混合运算可以统一为加法运算

符合表示：a + b - c = a + b + (-c)

统一为加法运算剖析

（-7）-（+5) + (-4) - (-10)

平常的解法：（-7）-（+5) + (-4) - (-10)

解:（-7）+（-5) + (-4) + (10)

= (-16)+10

= -6

更加简便的：（-7）-（+5) + (-4) - (-10)

解：-7-5-4+10

= -16+10

= -6

注意这个更加简便的加法运算里面没有加减符号

-7-5-4+10表达的是负7负5负4正10 这个时候我们只要计算-7-5-4+10的和就可以了

1- 4 + 6 - 0.5

有理数加减混合运算基本小结

将加减混合运算统一为加法运算；

写成省略加号和括号的形式

利用加法运算律和加法法则进行计算

在使用加法运算律时，需遵循的原则：

互为相反数的数相结合；

能凑整数的数相结合；

同分母的数相结合；

有理数的乘除法

乘法

问题 1

3 x 4 = 12 依次（-3）x 4 = -12

如果是这样的算式？该怎么解？

4 x (-3) = ?

(-8) x (-3) = ?

0 x (-8) = ?

问题2：观察一下，发现规律

2 x 4 = 8

2 x 3 = 6

2 x 2 = 4

2 x 1 = 2

2 x 0 = 0

2 x (-1) = -2

2 x (-2) = -4

以此内推..........

乘法法则

正数乘负数(负数乘正数)，积为负数，积的绝对值等于各乘数绝对值的积

负数乘负数；积为正数，至于为什么可以上网搜索一下为什么

任何数与0相乘，积仍为0

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘

倒数定义

回顾小学知识扩展

倒数定义：ab = 1；

正数的倒数是正数，比如3和3分之一；负数的倒数是负数，0没有倒数

数a（a ！= 0）的倒数是a分之一

多个有理数相乘的积的符号规律

1 x 2 x 3 x (-4) = -24

1 x 2 x (-3) x (-4) = 24

1 x (-2) x (-3) x (-4) = -24

(-1) x (-2) x (-3) x (-4) = 24

几个不是0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定

当负因数的个数是偶数是，积为正

当负因数的个数是奇数是，积为负

简记为：“奇负偶正”

多个有理数乘法计算步骤

先观察是否有因数为0；

确定积的符号（奇负偶正）；

确定积的绝对值。

除法

问题1：（-4）/ 2 = ？

小学的时候，我们所学的乘除，我们都知道被除数 / 除数 = 商商 x 除数 = 被除数

根据除法是乘法的逆运算，要求一个数，使它这个数与2相乘得 - 4。

因为：（-2）x 2 = - 4

所以：（-4）/ 2 = - 2

倒数方面：（-4）/ 2 = (-4) x 2分之一 = -2

于是我们可以：(-4) / 2 = (-4) x 2分之一

通过上述式子表明，一个数除以2可以转化为乘2的倒数来进行。

依照这个规律做一下题

如：(-15) / 5 = (-15) x 5分之1

所以：(-15) / 5 = (-3）

如：(-15) / (-3) = (-15) x 负3分之1

所以：(-15) / (-3) = 5

以此可知有理数除法法则：

第一种方法

除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数。

符号表示：a / b = a x b分之1 （b != 0）

第二种方法

(1). (-15) / 5 = (-3） (2). (-15) / (-3) = 5

由这个规律我们可以进一步得出：

同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

0除以任何一个不等于0的数都得0

提示：乘除混合运算往往先将除法化为乘法，然后确定积的符号，最后得结果，乘除混合同级运算时要按照从左到右进行计算（括号里的除外）

先乘除后加减（只在乘除加减混合运算里面运用）乘除混合就要从左到右

六，有理数乘方&科学记数与近似数

有理数的乘方

引例：

根据小学学过的知识

假如：一个正方体棱长为6cm的正方体

一面的面积为：6 x 6 = 12(cm²) 体积：6 x 6 x 6 = 18(cm³)

这个时候6记作:6² 6记作: 6³ 或6的三次方

如果：4个(-2)相乘记作:(-2) 读作:”-2的4次方”

如果:n个5相乘记作5ⁿ 读作:”5的n次方”

概念：求n个相同的因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。

注：乘法的书写方式如果是负数一定要加括号，加括号表达的意思和不加是两个概念

不加括号的

-3⁴ (-3)⁴ 是不一样的

-3⁴ 次幂结果为:-81

(-3)⁴次幂结果为:81

根据乘法的法则：我们可知：正数的次幂都是正数；负数的指数为奇数次幂就是负数，反之偶数就为正数

0的任何正整数次幂都是正数

如果10^-5 ？

10^-5= 1 / 10^5 = 0.00001

有理数的混合运算

加减，乘除，乘方的混合运算顺序：

先乘方，再乘除，最后加减三个级别

同级别运算，从左到右进行

如有括号，先做括号里，按小括号，中括号，大括号依次进行

科学计数法与近似数

科学计数法

把一个大于10的数表示成a x 10^n (其中a大于或等于1且小于10，n是正整数)

使用的是科学计数法

56000000000 = 5.6 x 10^10 表示更加简洁

a的确定：左边数第一个数字后面点小数点，去掉最后一个不是0的数字后面的所有0；

n的确定：原数的整数部分的位数减1

对于一个绝对值很大的负数，我们可以先用负数的相反数用科学计数法表示，再添加负号

10^-5 = 1 / 10^5 = 0.00001

近似数

3.1415926 取近似数

精确度的两种形式

精确到个位，十分位，百分位.......

精确到1，0.1，0.01

近似数的表示

根据要求，找准所在位的数字，再把这个数字后面的数字四舍五入

七，初略总结

数轴：一条定义了正方向，原点和长度单位的线，叫做数轴

相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，如：−a=a 0的绝对值还是0

相反数和相反意义的数是不一样的，相反意义表示只要符号相反即可

绝对值：是指一个数在数轴上所表示的对应点到原点的距离叫做这个数的绝对值，绝对值用“||”来表示。|a|

有理数加减:

同号相加不变,异号相加变减.欲问符号怎么定,绝对值大号选

减去一个数，等于加上这个数的相反数符合表示为：a-b = a +(-b)

有理数加减混合运算基本小结

将加减混合运算统一为加法运算；

写成省略加号和括号的形式

利用加法运算律和加法法则进行计算

在使用加法运算律时，需遵循的原则：

互为相反数的数相结合；

能凑整数的数相结合；

同分母的数相结合

有理数的乘除法：

乘法法则

正数乘负数(负数乘正数)，积为负数，积的绝对值等于各乘数绝对值的积

负数乘负数；积为正数，至于为什么可以上网搜索一下为什么

任何数与0相乘，积仍为0

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘

除法法则：

第一种方法

除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数。

符号表示：a / b = a x b分之1 （b != 0）

第二种方法

(1). (-15) / 5 = (-3） (2). (-15) / (-3) = 5

由这个规律我们可以进一步得出：

同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

0除以如何一个不等于0的数都得0

提示：乘除混合运算往往先将除法化为乘法，然后确定积的符号，最后得结果，乘除混合同级运算时要按照从左到右进行计算（括号里的除外）

先乘除后加减（只在乘除加减混合运算里面运用）乘除混合就要从左到右

有理数的混合运算

加减，乘除，乘方的混合运算顺序：

先乘方，再乘除，最后加减三个级别

同级别运算，从左到右进行

如有括号，先做括号里，按小括号，中括号，大括号依次进行

有理数的乘方

科学计数法

把一个大于10的数表示成a x 10^n (其中a大于或等于1且小于10，n是正整数)

使用的是科学计数法

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四，绝对值

方法

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有理数的加法

有理数的减法

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有理数的乘方

有理数的混合运算

科学计数法与近似数

七，初略总结

数轴：一条定义了正方向，原点和长度单位的线，叫做数轴

相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，如：−a=a 0的绝对值还是0

相反数和相反意义的数是不一样的，相反意义表示只要符号相反即可

绝对值：是指一个数在数轴上所表示的对应点到 原点的距离叫做这个数的绝对值，绝对值用“||”来表示。|a|

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