红黑树时间复杂度证明(O(lgn))

2024-06-16 16:08:20

通过“数学归纳法”对红黑树的时间复杂度O(lgn)进行证明

红黑树的时间复杂度为O(lgn),当且仅当"节点数为n的一棵红黑树的高度满足O(lgn)的要求"

证明如下：

图片内容截取自博客：http://www.cnblogs.com/skywang12345/p/3245399.html

下面通过数学归纳法，证明高度为h的红黑树，其包含的内节点个数至少为2^(bh(x)) -1

当 h = 0：
内节点个数为0，bh(x) = 0,原命题显然成立
当 h > 0,且树的高度为h-1,其黑色高度至少为bh(x) - 1,所以该树包含的内节点个数至少为2^(bh(x)-1) -1.
当h > 0,且树的高度为h时，
对于节点X的左右子树，其黑色高度为bh(x)或者bh(x) - 1
根据（2）已知：X的左右子树，即为高度h-1的节点，其包含的内节点至少为2^(bh(x)-1) -1。
因此：节点X包含的节点数至少为：2*（2^(bh(x)-1) -1） + 1 = 2^(bh(x)) -1
所以原命题成立，证毕

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