向量法是解高中立体几何题的神器。只要能建立空间直角坐标系的题，都可以用向量法来解，而这样的题目可以占到所有立体几何题的 95% 以上。与传统方法相比，向量法的计算量稍微大一些，但它的优点是不需要费脑筋做辅助线，而只需要简单粗暴地按套路进行计算，所以尤其适用于复杂的问题。

　　向量法的完整套路中，包含一种名为「叉积」的运算，它在部分地区是超出教学大纲的。但是没有「叉积」的向量法在很多情况下发挥不出它的魔力。本文就来把「叉积」这个缺口补上，让大家领略一下向量法的简单、粗暴、有效。当然啦，我知道你们会有「考试时不让用叉积」的抱怨。没关系，我会教你怎样把叉积「伪装」成不超纲的内容。

　　本文的第一部分将介绍向量间的点积、叉积两种运算，包括它们的定义、计算公式、运算律，以及向量法中直线和平面的方向的表示方法。高中立体几何题的大部分问题都是求角或求距离，本文的第二、三部分就来介绍各种角和距离用向量法怎么求。证明题一般是要证明线、面之间的平行或垂直，或者两个角的大小、两条线段的长度相等，都可以化归成求角或求距离。在第四部分，我会讲一下叉积在求面积、求体积这两种相对罕见的题型中的用法。最后展示一道例题。

一、基础知识

　1.1 向量的点积运算

　　向量的点积是大纲之内的内容。设两个向量为

　　点积运算适用于任何维度的向量，不过本文只讨论三维情况。在空间直角坐标系中，设

　　向量的点积具有交换律和分配律：

• 交换律：
• 分配律：

但没有结合律，因为两个向量的点积是一个数，不能再与第三个向量进行点积运算。

　1.2 向量的叉积运算

　　向量的叉积是本文要介绍的重点。叉积仅对三维向量有定义。设两个三维向量为

向量，它具有以下性质：

1. 它的模等于
   各自的模之积再乘以夹角的正弦，即
   ；
2. 它的方向与
   都垂直，且满足

   右手定则，如下图所示。

　　右手定则有两种理解方式，如下图。一种是：伸出拇指和食指，让它们分别朝向

当

零向量）。
　　在空间直角坐标系中，设

注意，左、右两个交叉相乘是「捺减撇」，中间的交叉相乘是「撇减捺」。

　　向量的叉积具有反交换律和分配律：

• 反交换律：
• 分配律：

两个向量的叉积是一个向量，可以继续与第三个向量进行叉积运算，但不幸的是，叉积运算也不满足结合律，即没有

　1.3 直线与平面方向的表示

　　在能建立空间直角坐标系的题目中，提到一条直线，一定会已知直线上两点

　　而平面的方向，则是用与平面垂直的向量来表示的，这个向量称为「法向量」。提到一个平面，一定会已知平面上不共线的三点

　　在立体几何题中，叉积的主要用途就是求平面的法向量。如果考试时不允许在步骤中使用叉积运算，可以用如下方法绕过去：既然法向量就是与平面中两个已知向量都垂直的向量，那么可以设出法向量

★

在试卷上列出这个方程组后，不必真正去解它，而是在草稿纸上根据

二、用向量法求各种角

　　高中立体几何涉及的角度有：线线角、线面角、面面角。

　2.1 求两条直线的夹角

　　设两条直线的方向向量分别为

　　有同学要问了：上面的方法利用的是点积，那么利用叉积求得两条直线的夹角为

叉积的计算量比点积大，所以优先选择点积。

　　注意向量法并不要求两条直线共面，它同样适用于异面直线！这就避免了传统方法中作平行线的麻烦。

　2.2 求直线与平面的夹角

　　设直线的方向向量为

　　请再次领略向量法的简单粗暴有效：传统方法中，要求线面角，必须找到直线与平面的交点，并作出直线在平面内的投影。而在向量法中，只要知道直线上的任意两点和平面中任意三点（不共线）的坐标，就可以代入公式计算出直线的方向向量和平面的法向量，再代入公式计算夹角，完全不必考虑五个已知点的位置关系。

　2.3 求两个平面的夹角

　　设两个平面的法向量分别为

　　在几何题中，提到「二面角」，往往指的不是两个「平面」的夹角，而是两个「半平面」的夹角——也就是说，求的是

一个指向角外，一个指向角内（如上图），那么两个半平面构成的二面角

　　用向量法求二面角，同样不需要找到两个面的交线和它在两个面内的垂线，而只需要知道两个面内六个点的坐标。在很多情况下，交线上会有两个已知点，那么就只需要在两个面中各再找一个点。

三、用向量法求各种距离

　　点、线、面三种图形两两组合，可以得到六种距离：两点距、点线距、点面距、线线距、线面距、面面距。其中线面距、面面距只在线面或面面平行时才有定义，此时可以在直线或其中一个平面中任取一点，转化为点面距。因此这一部分将介绍前四种距离的求法。

　3.1 求两点间的距离

　　设两点的坐标分别为

　3.2 求点到直线的距离

　　如图，设直线上任意一点到已知点的向量为

　　这里为什么使用了计算量大的叉积，而不是点积呢？这是为了利用叉积定义中现成的

　3.3 求点到平面的距离

　　如图，设平面上任意一点到已知点的向量为

　　点到平面的距离，其实是向量

　3.4 求两条直线的距离

　　三维空间中直线有三种位置关系：相交、平行、异面。后两种情况都可以求距离，但方法不一样。若两条直线平行，则可在其中一条直线上任取一点，转化成求该点到另一条直线的距离。若两条直线异面，则可以按如下步骤求出它们的距离。设第一条直线上有两个已知点

　　我们看到，两条直线的位置关系不同时，它们的距离求法不一样。但向量法最有用的时候，正是图形的位置关系不清楚的时候。有没有简便的方法判断直线的位置关系呢？有！先不管三七二十一地计算「法向量」

四、用向量法求三角形面积和四面体体积

　　这两种题型在高中立体几何中出现的频率不高，但它们与高等数学中「行列式」的概念联系紧密，有兴趣的同学可以涉猎一下。

　4.1 求三角形的面积

　　设三角形三个顶点

　　这个公式同样适用于平面几何，此时

有向面积。

　　把

　4.2 求四面体的体积

　　设四面体四个顶点

　　上述结果去掉

混合积，它表示了平行六面体的有向体积——若从角

　　设

　　行列式的概念还可以推广到更高维的空间。从同一个点出发的

五、一道例题

　　图中是一座金字塔。它是一个正四棱锥，底面

1. 求金字塔相邻侧面所成的二面角
   。
2. 求金字塔的棱
   所在直线与底边
   所在直线的距离。
3. 求火苗
   到棱
   所在直线的距离。

解：如上图建立空间直角坐标系，原点

求二面角

侧面

求直线

先求一个与两条直线都垂直的向量

求点

此距离