自适应辛普森学习笔记

辛普森公式:
∫abf(x)dx≈(b−a)∗(f(a)+f(b)+4∗f(a+b2))6\int_a^b {f(x)} \,{\rm dx} \approx \frac{(b-a)*(f(a)+f(b) +4*f(\frac {a+b}{2} ))}{6} ∫abf(x)dx≈6(b−a)∗(f(a)+f(b)+4∗f(2a+b))
但是这样的精度并不能满足要求,所有我们想多次划分多个区间去求得这个定积分.那么我们想着二分当前区间L,R分别代表左右区间的辛普森值,A代表当前区间的辛普森值.也就是L=[L,mid],R=[mid,R],A=[L,R].如果有∣A−L−R∣<15∗epsL,R 分别代表左右区间的辛普森值,A代表当前区间的辛普森值.也就是L=[L,mid],R=[mid,R],A=[L,R].如果有\lvert A-L-R\rvert<15*epsL,R分别代表左右区间的辛普森值,A代表当前区间的辛普森值.也就是L=[L,mid],R=[mid,R],A=[L,R].如果有∣A−L−R∣<15∗eps。那么我们认为满足了精度要求,直接返回答案即可.
否则我们递归划分该区间,而且要求精度/2.这样来满足左右区间相加后精度仍然是正确的。
在实际进行中,由于函数值的计算会被重复计算,可以先用一些变量储存下来。
实际操作参考代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 3e5+2;
const int INF = 1e9+7;
double a,b,c,d;
double F(double x){return (c*x+d)/(a*x+b);
}
double simpson(double len,double fL,double fM,double fR){return (len)*(fL+fR+4*fM)/6;
}
//l,r,mid都是实际的横坐标值, fL , fM ,fR 是对应的函数值
//A是代表当前区间的辛普森值
double asr(double l,double r,double eps,double fL,double fM,double fR,double A){double mid =(l+r)/2;double len = (r-l);double L_mid = F(l+len/4);double R_mid = F(r-len/4);double L=simpson(len/2,fL,L_mid,fM);double R = simpson(len/2,fM,R_mid,fR);//计算出左右区间的辛普森值if(fabs(L+R-A)<=15*eps) return (L+R)+(L+R-A)/15.0;else return asr(l,mid,eps/2,fL,L_mid,fM,L) + asr(mid,r,eps/2,fM,R_mid,fR,R);
}
//使用下面的这个自适应辛普森来开始进行程序
double asr(double l,double r,double eps){double L=F(l);double R = F(r);double MID = F((l+r)/2);double A = simpson(r-l,L,MID,R);return asr(l,r,eps,L,MID,R,A);
}

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