「学习笔记」自适应辛普森法

引例

计算积分：

∫RLcx+dax+bdx∫LRcx+dax+bdx

\int_{L}^{R} \frac{cx+d}{ax+b} dx

题解

其实可以直接求导然后做，然而太弱根本推不出来.

于是就可以使用自适应辛普森积分。

辛普森（Simpson）公式是牛顿-科特斯公式当n=2时的情形。

∫RLf(x)dx≈(R−L)[f(L)+f(R)+4f(mid)]6∫LRf(x)dx≈(R−L)[f(L)+f(R)+4f(mid)]6

\int_{L}^{R} f(x) dx\approx\frac{(R-L)[f(L)+f(R)+4f(mid)]}{6}，其中 mid=L+R2mid=L+R2mid = \frac{L+R}{2}

这样每次求一个区间的积分，先求左右两段积分，如果不满足精度就递归下去，满足就直接返回.

本题代码：

#include <cstdio>
#include <cmath>const double EPS = 1e-11;double a, b, c, d, L, R;double F(double x) {return (c * x + d) / (a * x + b);
}double Simpson(double a, double b) {double c = (a + b) / 2;return (b - a) * (F(a) + F(b) + 4 * (F(c))) / 6;
}double integral(double L, double R) {double mid = (L + R) / 2;double S = Simpson(L, R), Sl = Simpson(L, mid), Sr = Simpson(mid, R);if(fabs(Sl + Sr - S) < EPS) return Sl + Sr;return integral(L, mid) + integral(mid, R);
}int main() {scanf("%lf%lf%lf%lf%lf%lf", &a, &b, &c, &d, &L, &R);printf("%.6f\n", integral(L, R));return 0;
}

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