1 带Peano余项的Taylor 公式

若函数 ff 满足： ∃n∈N,n≥1,f(n)(0) \exists n \in \mathbb N, n \ge 1, f^{(n)}(0) 存在，则：
∃δ(0),∀x∈δ(0),f(x)=f(0)+∑ni=1f(i)(0)i!xi+o(xn)\exists \delta(0), \forall x \in \delta(0), f(x) = f(0) + \sum_{i=1}^n \frac{ f^{(i)}(0)}{i!}x^i +o(x^n)

证明：

n=1n = 1 时， f(x)=f(0)+f′(0)x+o(x) f(x) = f(0) + f'(0)x + o(x) 公式显然成立。
n>=2n >=2 时，令 g(x)=f(0)+∑ni=1f(i)(0)i!xi,h(x)=f(x)−g(x),r(x)=xng(x) = f(0) + \sum_{i=1}^n \frac{ f^{(i)}(0)}{i!}x^i , h(x) = f(x) - g(x), r(x) = x^n
则 g(0)=f(0)⇒h(0)=0g(0) = f(0) \Rightarrow h(0) = 0
由 ∀m,n∈N,m,n≥1,(xn)(m)=⎧⎩⎨⎪⎪n!(n−m)!xn−m,n!,0,m<nm=nm>n\forall m, n \in \mathbb N, m, n \ge 1, {(x^n)}^{(m)} = \begin{cases} \frac{n!}{(n-m)!}x^{n-m}, & m n \end{cases}

得： ∀k∈N,1≤k<n,g(k)(x)=f(k)(0)+∑ni=k+1f(i)(0)i!.i!(i−k)!xi−k \forall k\in\mathbb N, 1 \le k \lt n, g^{(k)}(x) = f^{(k)}(0) + \sum_{i=k + 1}^n \frac{ f^{(i)}(0)}{i!} . \frac{i!}{(i-k)!} x^{i - k}
=f(k)(0)+∑ni=k+1f(i)(0)(i−k)!xi−k⇒g(k)(0)=f(k)(0)= f^{(k)}(0) + \sum_{i=k + 1}^n \frac{ f^{(i)}(0)}{(i - k)!} x^{i - k} \Rightarrow g^{(k)}(0) = f^{(k)}(0)
又： g(n)(x)=f(n)(0)⇒g(n)(0)=f(n)(0)g^{(n)}(x) = f^{(n)}(0) \Rightarrow g^{(n)}(0) = f^{(n)}(0)

因此： ∀k∈N,0≤k≤n,g(k)(0)=f(k)(0)⇒h(k)(0)=0 \forall k\in\mathbb N, 0 \le k \le n, g^{(k)}(0) = f^{(k)}(0) \Rightarrow h^{(k)}(0) = 0
且： ∀k∈N,0≤k<n,r(x)(k)=n!(n−k)!xn−k⇒r(x)(k)=0⇔x=0\forall k\in\mathbb N, 0 \le k \lt n, r(x)^{(k)} = \frac{n!}{(n-k)!} x^{n-k} \Rightarrow r(x)^{(k)} = 0 \Leftrightarrow x = 0

故：

limx→0h(x)xn=limx→0h(x)−h(0)r(x)−r(0)=limx→0h′(x)r′(x)=...=limx→0h(n−1)(x)r(n−1)(x)=limx→0h(n−1)(x)n!x=h(n)(0)n!=0

\lim_{x \to 0}{\frac{h(x)}{x^n}} = \lim_{x \to 0}{\frac{h(x) - h(0)}{r(x) - r(0)}} = \lim_{x \to 0}{\frac{h'(x)}{r'(x)}} = ... = \lim_{x \to 0}{\frac{h^{(n - 1)}(x)}{r^{(n - 1)}(x)}} = \lim_{x \to 0}{\frac{h^{(n - 1)}(x)}{n! x}} = \frac{h^{(n)}(0)} {n!} = 0

2 带Lagrange余项的Taylor公式

若函数 ff 满足： ∃n∈N,n≥1,∃x∈R,f \exists n \in \mathbb N, n \ge 1, \exists x \in R, f 在 00 和 xx 组成的闭区间有 nn 阶连续导数，在 00 和 xx 组成的开区间有 n+1n + 1 阶导数，则：
∃θ∈(0,1),f(x)=f(0)+∑ni=1f(i)(0)i!xi+f(n+1)(θx)(n+1)!xn+1\exists \theta \in (0, 1), f(x) = f(0) + \sum_{i=1}^n \frac{ f^{(i)}(0)}{i!}x^i +\frac{ f^{(n + 1)}(\theta x)}{(n + 1)!} x^{n + 1}

证法一：

x=0x = 0 时，显然成立。
x≠0x \ne 0 时，令 g(t)=f(t)+∑ni=1f(i)(t)i!(x−t)i,h(t)=f(x)−g(t),g(t) = f(t) + \sum_{i=1}^n \frac{ f^{(i)}(t)}{i!}{(x - t)}^i , h(t) = f(x) - g(t),
r(t)=(x−t)n+1, r(t) ={(x - t)}^{n + 1}, 则需要证明的就是：

h(0)=f(n+1)(θx)(n+1)!r(0)

h(0) = \frac{ f^{(n + 1)}(\theta x)}{(n + 1)!} r(0)

易知： h(t),r(t)h(t), r(t) 在 00 和 xx 组成的闭区间连续，在00 和 xx 组成的开区间可导，且 r′(t)r'(t) 在开区间不等于 00 。由Cauchy中值定理：
∃θ∈(0,1),h(x)−h(0)r(x)−r(0)=h′(θx)r′(θx)\exists \theta \in (0, 1), \frac{h(x) - h(0)}{r(x) - r(0)} = \frac{h'(\theta x)}{r'(\theta x)}

tt 在00 和 xx 组成的开区间时，
g′(t)=f′(t)+∑ni=1[f(i+1)(t)i!(x−t)i−f(i)(t)i!⋅i⋅(x−t)i−1]g'(t) = f'(t) + \sum_{i=1}^n [\frac{ f^{(i + 1)}(t)}{i!}{(x - t)}^i - \frac{ f^{(i)}(t)}{i!} \cdot i \cdot {(x - t)}^{i - 1}]
=f′(t)+∑ni=1[f(i+1)(t)i!(x−t)i−f(i)(t)(i−1)!(x−t)i−1]= f'(t) + \sum_{i = 1}^n [\frac{ f^{(i + 1)}(t)}{i!}{(x - t)}^i - \frac{ f^{(i)}(t)}{(i - 1)!} {(x - t)}^{i - 1}]
=f′(t)+∑ni=1f(i+1)(t)i!(x−t)i−∑n−1i=0f(i+1)(t)i!(x−t)i= f'(t) + \sum_{i = 1}^n \frac{ f^{(i + 1)}(t)}{i!}{(x - t)}^i - \sum_{i=0}^{n - 1} \frac{ f^{(i + 1)}(t)}{i!} {(x - t)}^{i}
=f(n+1)(t)n!(x−t)n= \frac{ f^{(n + 1)}(t)}{n!}{(x - t)}^n
⇒h′(t)=−f′(t)=−f(n+1)(t)n!(x−t)n \Rightarrow h'(t) = - f'(t) = -\frac{ f^{(n + 1)}(t)}{n!} {(x - t)}^n
r′(t)=−(n+1)(x−t)nr'(t) = -(n + 1) (x - t)^n

可得： h′(t)r′(t)=f(n+1)(t)(n+1)!\frac{h'(t)}{r'(t)} = \frac{ f^{(n + 1)}(t)}{(n + 1)!}

又： g(x)=f(x)⇒h(x)=0g(x) = f(x) \Rightarrow h(x) = 0 且 r(x)=0 r(x) = 0
因此：

h(0)r(0)=h(x)−h(0)r(x)−r(0)=f(n+1)(θx)(n+1)!

\frac{h(0)}{r(0)} = \frac{h(x) - h(0)}{r(x) - r(0)} = \frac{ f^{(n + 1)}(\theta x)}{(n + 1)!}

证法二：

令 G(x)=f(0)+∑ni=1f(i)(0)i!xi,H(x)=f(x)−G(x),R(x)=xn+1,G(x) = f(0) + \sum_{i=1}^n \frac{ f^{(i)}(0)}{i!}{x}^i , H(x) = f(x) - G(x), R(x) ={x}^{n + 1}, 则：
∀k∈N,1≤k≤n,H(k)(0)=0,R(k)(x)=0⇔x=0 \forall k\in\mathbb N, 1 \le k \le n, H^{(k)}(0) = 0, R^{(k)}(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0
于是： ∃{θi∈(0,1):1≤i≤n+1},ξ1=θ1x,ξi+1=θi+1ξi:\exists \{\theta_i \in (0, 1): 1 \le i \le n + 1\}, \xi_1 = \theta_1 x, \xi_{i + 1} = \theta_{i + 1} \xi_{i}:

H(x)R(x)=H(x)−H(0)R(x)−R(0)=H′(ξ1)R′(ξ1)=...=H(n+1)(ξn+1)R(n+1)(ξn+1)=f(n+1)(ξn+1)(n+1)!

\frac{H(x)}{R(x)} = \frac{H(x) - H(0)}{R(x) - R(0)} = \frac{H'(\xi_1)}{R'(\xi_1)} = ... = \frac{H^{(n + 1)}(\xi_{n + 1})}{R^{(n + 1)}(\xi_{n + 1})} = \frac{ f^{(n + 1)}(\xi_{n + 1})}{(n + 1)!}
令 θ=∑n+1i=1θi⇒θ∈(0,1),ξn+1=θx\theta = \sum_{i=1}^{n + 1} \theta_i \Rightarrow \theta \in (0, 1), \xi_{n + 1} = \theta x

Taylor公式的证明相关推荐

Taylor公式和插值多项式
Taylor公式和插值多项式笔记总结自:复旦大学-陈纪修-<数学分析>课程-第5章第3节-Taylor公式和插值多项式文章目录 Taylor公式和插值多项式一.Taylor公式带P ...
用Python学《微积分B》（Taylor公式与曲线拟合）
Taylor公式是微分学部分集大成者,可以说,只有理解了Taylor公式,才能真正感受到微分学方法的神奇与强大.本文主要根据扈志明老师的<微积分B>课程的内容,总结我对Taylor公式的理 ...
多元函数的高阶微分公式与 Taylor公式
设: m,n∈N,m,n≥1,m, n \in \mathbb N, m, n \ge 1, Dj=∂∂xj{\mathrm{D}}_j = \frac {\partial }{\partial x_ ...
多元函数带 Peano余项的Taylor公式的推广（原创）
多元函数带 Peano余项的Taylor公式的推广设: m,n∈N,m,n≥1, m, n \in \mathbb N, m, n \ge 1, Dj=∂∂xj, {\operatorname{D} ...
AI笔记: 数学基础之导数的应用：泰勒Taylor公式
Taylor公式的应用机器学习中广泛应用,数学建模,线性回归,预测等领域关于Taylor公式 Taylor公式是用一个函数在某点的信息描述其附近取值的公式,如果函数足够平滑,在已知函数在某一点的各 ...
贝叶斯统计：Tweedie公式及其证明
贝叶斯统计:Tweedie公式及其证明 Tweedie公式是贝叶斯统计中用来研究正态分布的均值问题的最重要的公式之一,不管是在经典的对正态均值进行区间估计.假设检验等领域中,还是在现代贝叶斯统计用均值 ...
概率论减法公式的证明
概率论减法公式的证明
阶的估计I 无穷小量与强函数2 Taylor公式基本初等函数与三角函数的阶
阶的估计I 无穷小量与强函数2 Taylor公式基本初等函数与三角函数的阶这一讲介绍Taylor公式在阶的估计中的应用,并基于Taylor公式给出一些常用函数的阶的估计. 定理1.2 Taylor ...
用Python学《微积分B》（多元函数Taylor公式）
从一元微分到多元微分,主要把握这两点差异:一是导数变偏导数,二是叠加.从向量的角度来看,更容易理解:导数(偏导数)表征的是变化率,一元函数导数表示的是一个维度上的变化率,而多元函数导数表示的多个维 ...
[数分提高]2014-2015-2第6教学周第1次课讲义 3.3 Taylor 公式
1. (Taylor 公式). 设 $f^{(n)}$ 在 $[a,b]$ 上连续, $f^{(n+1)}$ 在 $(a,b)$ 内存在, 试证: $ \forall\ x,x_0\in [a,b], ...

Taylor公式的证明

1 带Peano余项的Taylor 公式

证明：

2 带Lagrange余项的Taylor公式

证法一：

证法二：

Taylor公式的证明相关推荐

最新文章

热门文章