入射波反射波和驻波的基本推导

学习雷达过程中，发现阻抗匹配是一道迈不过去的坎，而阻抗匹配、能量传输与电压驻波比又有千丝万缕的联系，而电压驻波比则与反射波、入射波等相关的特性有关，于是写下此文章记录一下推导过程。懒得正经画图，仅作为记录备份，大家凑合看。

推导

波的传播过程如下图所示

可见，后面的波的相位是滞后于前面的波的。而且波函数不仅和传播距离rrr有关，还和时间ttt有关。令入射波为f1(t,r)f_1(t,r)f1(t,r)，反射波为f2(t,r)f_2(t,r)f2(t,r),合成波为f(t,r)f(t,r)f(t,r)。那么推导如下
f1(t,r)=sin(ω(t−rv))=sin(ωt−ωrv)=sin(ωt−kr)f_1(t,r) = sin(\omega(t-\frac{r}{v})) = sin(\omega t-\frac{\omega r}{v}) = sin(\omega t-kr)f1(t,r)=sin(ω(t−vr))=sin(ωt−vωr)=sin(ωt−kr)
其中rrr为传播距离，vvv为波速。k=2πλ,v=λf,ω=2πfk = \frac{2 \pi}{\lambda}, v = \lambda f, \omega = 2 \pi fk=λ2π,v=λf,ω=2πf。

那么当波到达RRR处，碰到反射体，那么将会产生反射波。
首先有入射波满足
f1(t,R)==sin(ω(t−Rv))=sin(ωt−kR)f_1(t,R) = =sin(\omega (t - \frac{R}{v} )) =sin(\omega t - kR)f1(t,R)==sin(ω(t−vR))=sin(ωt−kR)。假设反射造成的附加相移为ϕΔ\phi_\DeltaϕΔ，一般来说波疏介质到波密介质传播发生反射时附加相移就是π\piπ，但是其它情况就不确定了。那么反射波f2(t,R)=sin(ωt−kR+ϕΔ)f_2(t,R) = sin(\omega t - kR + \phi_\Delta)f2(t,R)=sin(ωt−kR+ϕΔ)。那么反射波由右向左传播，那么传播距离为R−rR-rR−r，则有
f2(t,r)=sin(ω(t−Rv−R−rv)+ϕΔ)=sin(w(t+rv)+ϕΔ−2Rv)f_2(t,r) = sin(\omega (t - \frac{R}{v} - \frac{R-r}{v}) + \phi_\Delta) = sin(w(t+\frac{r}{v})+\phi_\Delta-\frac{2R}{v})f2(t,r)=sin(ω(t−vR−vR−r)+ϕΔ)=sin(w(t+vr)+ϕΔ−v2R)。
那么有2Rv\frac{2R}{v}v2R可看成常数ϕ1\phi_1ϕ1，令ϕ=ϕΔ−2Rv\phi=\phi_\Delta -\frac{2R}{v}ϕ=ϕΔ−v2R，有
f2(t,r)=sin(ωt+kr+ϕ)f_2(t,r) =sin(\omega t + kr + \phi)f2(t,r)=sin(ωt+kr+ϕ)

那么有合成波f(t,r)=f1(t,r)+f2(t,r)f(t,r) = f_1(t,r) + f_2(t,r)f(t,r)=f1(t,r)+f2(t,r)，通过和差化积，得到
f(t,r)=2cos(kr+ϕ2)sin(ωt+ϕ2)f(t,r) = 2cos(kr+\frac{\phi}{2})sin(\omega t+ \frac{\phi}{2})f(t,r)=2cos(kr+2ϕ)sin(ωt+2ϕ)。

可见，合成波在距离上呈现余弦波包络，包络内部波随着时间震荡。

驻波

两列沿相反方向传播的振幅相同、频率相同的波叠加时形成的波叫做驻波。可见，反射波和入射波恰好符合形成驻波的条件。那么波节的位置即可以让余弦项为0求得，波腹则让余弦项最大。最终结果不好展示，贴个MATLAB代码大家去试试吧。

f = 300;
w = 2*pi*f;
R = 10;
v = 10;
lambda = v/f;
phi = pi/2;r = 0:0.001:0.5;
k = 2*pi/lambda;axis([0 0.5 -2 2]);
for t = 0:0.0001:1f4 = sin(w*t + phi/2);  %内部振幅f3 = 2*cos(k*r+phi/2);   %包络f5 = f3.*f4;f1 = sin(w*t-k*r);f2 = sin(w*t+k*r+phi);f = f1+f2;figure(1)hold onplot(r,f,'r');plot(r,f3,'--');
%     plot(r,f5,'b-');pause(0.1);hold offclfaxis([0 0.5 -2 2]);
end

如果反射电压幅度和入射电压幅度不一致，那么可用下面的程序来进行模拟

f = 300;
w = 2*pi*f;
R = 10;
v = 10;
lambda = v/f;
phi = pi/2;r = 0:0.001:0.5;
k = 2*pi/lambda;A1 = 1;
A2 = 0.5;axis([0 0.5 -2 2]);
for t = 0:0.0001:1f4 = sin(w*t + phi/2);  %内部振幅f3 = 2*cos(k*r+phi/2);   %包络f5 = f3.*f4;f1 = A1*sin(w*t-k*r);f2 = A2*sin(w*t+k*r+phi);f = f1+f2;figure(1)hold onplot(r,f,'r');plot(r,f3,'--');
%     plot(r,f5,'b-');pause(0.1);hold offclfaxis([0 0.5 -2 2]);
end

不过这样好像无法形成驻波，有点晕。

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