2-4 实变函数之可测函数

1.可测函数

有限函数与有界函数
函数值都是有限实数(±∞\pm\infty±∞称为非正常实数)的函数称为有限实数。
例1：y=1xy=\frac{1}{x}y=x1是有限函数但不是有界实数。
有界函数一定是有限函数
可测函数的定义
设f(x)是一个定义在可测集E⊂RnE\subset R^nE⊂Rn的实函数。若对于任何有限实数a,E[f>a]E[f>a]E[f>a]都是可测集，则称f(x)f(x)f(x)是是定义在E上的可测函数。
可测函数的等价表达
EEE是一个可测集，E1E_1E1是EEE的子集，则若E1E_1E1可测，那么E−E1E-E_1E−E1也可测。
详情参照:2-3 实变函数之测度论第二节定理第5条
(1). 定义中E[f>a]E[f>a]E[f>a]改为E[f≥a]E[f\geq a]E[f≥a].
(2). 定义中E[f>a]E[f>a]E[f>a]改为E[f<a]E[f< a]E[f<a].
(3). 定义中E[f>a]E[f>a]E[f>a]改为E[f≤a]E[f\leq a]E[f≤a].
(4). 若fff有限，且a<ba<ba<b,定义中E[f>a]E[f>a]E[f>a]改为E[a<f≤b]E[a<f\leq b]E[a<f≤b].
连续函数
通俗的讲，x0x_0x0任意邻域中对f(x)f(x)f(x)有定义的点的函数值都包含在f(x0)f(x_0)f(x0)的邻域里。
简单函数
在互不相交且和为全集的子集中都是常数的函数称为简单函数，如Dirichlet函数
函数的正部和负部
正部：f+=max(f(x),0)f^+ =max(f(x),0)f+=max(f(x),0)
负部：f−=−min(f(x),0)f^- =-min(f(x),0)f−=−min(f(x),0)
f(x)=f+−f−,∣f(x)∣=f++f−f(x)=f^+-f^-,|f(x)|=f^++f^-f(x)=f+−f−,∣f(x)∣=f++f−

2.叶果洛夫定理

几乎处处收敛的可测函数，“基本上”都是一致收敛的（即不一致收敛点组成0测度集）

3.鲁津定理

几乎处处有限的可测函数，“基本上”是连续函数（即不连续点组成0测度集）

4.依测度收敛

∀ϵ>0,σ>0,∃N(ϵ,σ)>0,s.t.n≥N(ϵ,σ)\forall \epsilon>0,\sigma>0,\exist N(\epsilon,\sigma)>0,s.t.n\geq N(\epsilon,\sigma)∀ϵ>0,σ>0,∃N(ϵ,σ)>0,s.t.n≥N(ϵ,σ)时,mE[∣fn−f∣≥σ]<ϵmE[|f_n-f|\geq \sigma]<\epsilonmE[∣fn−f∣≥σ]<ϵ
称fnf_nfn依测度收敛致fff，记作{fn}⟹f\{f_n\}\implies f{fn}⟹f

换句话说，当n>N(ϵ,σ)n>N(\epsilon,\sigma)n>N(ϵ,σ)时，fn−ff_n-ffn−f的绝对值大于给定的任意小的正数的集合的测度为0.

5.里斯定理

{fn}⟹f\{f_n\}\implies f{fn}⟹f，存在{fn}\{f_n\}{fn}的子列几乎处处收敛致fff

6.Lebesgue定理

若EEE的测度有限，{fn}\{f_n\}{fn}有限可测,且{fn}\{f_n\}{fn}几乎处处收敛致fff,则
{fn}⟹f\{f_n\}\implies f{fn}⟹f。