Codeforces Round #701 (Div. 2)赛后补题报告(A~D)

A. Add and Divide

原题信息

http://codeforces.com/contest/1485/problem/A

解题思路

对于题目基本有两种方式，一种是直接暴力求解，第二种是使用函数求导进行严格证明
暴力求解
a=1e9a=1e^9a=1e9不难看出，操作最多为 50次，因为249=5629499534213122 ^ 49 = 562949953421312249=562949953421312 直接就超了
那么我们的 bbb最多也就是加50次，然后进行向下整除的模拟即可
一定要注意 b=0b = 0b=0这种情况。
函数求导
首先我们设操作次数为yyy，进行 b+=1b += 1b+=1的次数为xxx，可以得到的关系式为
y=x+(logb+xa+1)y = x + (log_{b+x}a+1)y=x+(logb+xa+1)，其中logb+xalog_{b+x}alogb+xa是整除到1的次数，最后 +1是让其变为0
下面我们对他进行求导
y′=1−lna(lnt)2⋅ty'=1-\frac{ln{a}}{(lnt)^2\cdot t}y′=1−(lnt)2⋅tlna，其中t=b+x，t≥2并且t≥bt=b+x，t\geq2 并且 t\geq bt=b+x，t≥2并且t≥b
查看导函数的零点
(lnt)2⋅t=lna，t≥2并且t≥b{(lnt)^2\cdot t}=lna，t\geq2 并且 t\geq b(lnt)2⋅t=lna，t≥2并且t≥b，等式左侧递增，右侧为常数lnalnalna，即至多有一个零点
倘若有一个零点
可以直接二分求得零点，我们在零点，零点+1，零点-1进行求解得结果。
倘若没有零点
直接就是t≥2并且t≥bt\geq2 并且 t\geq bt≥2并且t≥b取得最小值。

AC代码

首先必须吐嘲一下，暴力没往这个向限制，求导生疏了，整了半天，真鸡儿狗
暴力枚举代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;typedef long long LL;
const int N = 100010;LL a, b;int sol(LL a, LL b, int add)
{b += add;if (b == 1) return 0x3f3f3f3f;while (a){a /= b;add ++;}return add;
}int main()
{int T;  cin >> T;while (T -- ){scanf("%lld%lld", &a, &b);int res = 1000;for (int i = 0; i <= 50; i ++ ){res = min(res, sol(a, b, i));}cout << res << endl;}return 0;
}

函数求导代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;const int N = 100010;
typedef long long LL;
const double esp = 1e-5;
LL a, b;int RealDo(LL a, LL b)
{int ret = 0;while (a){ret ++;a /= b;}return ret;
}int Get(LL a, LL b, LL tarb)
{if (tarb <= 1 || tarb < b)  return 0x3f3f3f3f;// return (tarb - b) + floor(log(a) / log(tarb)) + 1;return (tarb - b) + RealDo(a, tarb);
}double Cal(LL a, LL b)
{double lga = log(a);double l = b, r = 2e9, mid = b;if (lga <= mid * (log(mid) * log(mid)) )    // 不用加return mid;while (abs(l - r) >= esp){mid = (l + r) / 2;if (lga <= mid * (log(mid) * log(mid))) // 高了r = mid;else    // 低了l = mid;}return mid;
}int sol(LL a, LL b)
{double x = Cal(a, b);return min(Get(a, b, x), min(Get(a, b, x + 1), Get(a, b, x - 1)));
}int main()
{int t;cin >> t;while (t -- ){scanf("%lld%lld", &a, &b);cout << sol(a, b) << endl;}return 0;
}

B. Replace and Keep Sorted

原题信息

http://codeforces.com/contest/1485/problem/B

解题思路

我们单独考虑端点的可能性，已经中间结点不同的次数（可以使用前缀和）
但是一定要仔细考虑什么时候 + 1，什么时候没有+1, 端点是否包括

AC代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;const int N = 100010;
int n, k, q;
int a[N];
int b[N];int cal(int l, int r)
{if (l == r) return  k - 1;else{int ret = (a[l] - 1) + (a[l + 1] - a[l] - 1) + (k - a[r]) + (a[r] - a[r - 1] - 1);if (l == r - 1)return ret;elsereturn ret + b[r - 1] - b[l];   // l + 1 ~ r - 1}
}
int main()
{cin >> n >> q >> k;for (int i = 1; i <= n; i ++ )scanf("%d", &a[i]);memset(b, 0, sizeof b);for (int i = 2; i <= n - 1; i ++ )b[i] = (a[i] - a[i - 1] - 1) + (a[i + 1] - a[i] - 1);for (int i = 2; i <= n - 1; i ++ )b[i] += b[i - 1];while (q -- ){static int l, r;scanf("%d%d", &l, &r);// cout << "res" << endl << "\t";cout << cal(l, r) << endl;}return 0;
}

C. Floor and Mod

原题信息

http://codeforces.com/contest/1485/problem/C

解题思路

C题吐槽一下，当时复杂度分析错了，O(N)O(\sqrt N)O(N)分析成O(N)O(N)O(N)，太绝了
设⌊ab⌋=a%b=t,t<b\lfloor\frac a b\rfloor=a\%b=t, t< b⌊ba⌋=a%b=t,t<b
那么a=t⋅b+t=(b+1)⋅t,A≥a≥1,B≥b≥1a=t \cdot b + t=(b+1)\cdot t, A\geq a\geq1,B\geq b\geq1a=t⋅b+t=(b+1)⋅t,A≥a≥1,B≥b≥1

当t=1t=1t=1时，a=b+1,b∈[2,B]a=b+1,b\in [2, B]a=b+1,b∈[2,B]
当t=2t=2t=2时，a=2⋅(b+1),b∈[3,B]a=2\cdot(b+1),b\in [3, B]a=2⋅(b+1),b∈[3,B]
…
当t=it=it=i时，a=i⋅(b+1),b∈[i+1,B]a=i\cdot(b+1),b\in [i + 1, B]a=i⋅(b+1),b∈[i+1,B]
此时,i⋅(b+1)≤A,b≤B,b≥i+1i \cdot (b + 1)\leq A, b\leq B, b\geq i+1i⋅(b+1)≤A,b≤B,b≥i+1
⟹b∈[i+1,min(B,⌊Ai⌋−1)]\Longrightarrow b\in [i + 1, min(B,\lfloor \frac A i \rfloor-1)]⟹b∈[i+1,min(B,⌊iA⌋−1)]
如果⌊Ai⌋−1\lfloor \frac A i \rfloor-1⌊iA⌋−1有前缀和公式的话，是可以进行化简为O(1)O(1)O(1)的
最后，b∈[i+1,min(B,⌊Ai⌋−1)]b\in [i + 1, min(B,\lfloor \frac A i \rfloor-1)]b∈[i+1,min(B,⌊iA⌋−1)]可以看出来iii的最大值，是无法取到1e91e91e9的，需要开个根号。

AC代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;typedef long long LL;void Sol(LL A, LL B)
{LL a, b, tmp, ret = 0;for (int i = 1; true; i ++ ){tmp = min(B, A / i - 1);// i + 1 ~ tmpif (i + 1 > tmp)    break;else    ret += (tmp - (i + 1) + 1);}cout << ret << endl;
}int main()
{int t;  cin >> t;while (t -- ){static LL a, b;scanf("%lld%lld", &a, &b);Sol(a, b);}return 0;
}

D. Multiples and Power Differences

原题信息

http://codeforces.com/contest/1485/problem/D

解题思路

可恶啊，这个题目是一个LCM的板子题，没看出来。。。
首先，我们对1~16求LCM = x，我们的 B 数组首先全是x，可以满足multiplemultiplemultiple的性质，然后我们凑性质三，发现可以直接进行隔项加上ai,j4a_{i, j}^4ai,j4，而且数据范围小，满足性质1

AC代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;typedef long long LL;
const int N = 510;
int n, m;
int a[N][N];
int b[N][N];int gcd(int x, int y)
{if (y == 0) return x;else    return gcd(y, x % y);
}int lcm(int x, int y)
{return LL(x) * y / gcd(x, y);
}int main()
{cin >> n >> m;for (int i = 1; i <= n; i ++ )for (int j = 1; j <= m; j ++ )scanf("%d", &a[i][j]);int x = 1;for (int i = 1; i <= 16; i ++ ){x = lcm(x, i);}for (int i = 1; i <= n; i ++ )for (int j = 1; j <= m; j ++ )b[i][j] = x;for (int i = 1; i <= n; i ++ ){for (int j = (i % 2 == 1 ? 1 : 2); j <= m; j += 2){b[i][j] += (a[i][j] * a[i][j]) * (a[i][j] * a[i][j]);}}// outputfor (int i = 1; i <= n; i ++ ){printf("%d", b[i][1]);for (int j = 2; j <= m; j ++ )printf(" %d", b[i][j]);puts("");}return 0;
}

总结

首先考虑暴力，能否直接缩小范围，省时间
其次，考虑复杂度的时候，分析准确一些
多考虑边界的情况，+1，-1
最后题型要把握清楚，数据范围小的时候，有时候会暴力，有时候直接lcm。。。