简单通路：边不重复初级通路：点不重复简单通路：边不重复\\初级通路：点不重复简单通路：边不重复初级通路：点不重复

图	类型	描述
无向图	连通图	任意两点联通，处于一个等价类
有向图	弱连通图(也称为联通图)	略去方向为连通图
有向图	单项连通图	任意两点，至少有一个可达另一个
有向图	强连通图	不去方向任意两点可达

连通图：没有孤立点，任意两个定点间有至少一条通路

判定：G=（V,E）是（p，q）图
1.充分条件(条件有点太强了):
∀u,v∈V,deg(u)+deg(v)≥p−1\forall u,v \in V,deg(u)+deg(v) \geq p-1 ∀u,v∈V,deg(u)+deg(v)≥p−1
证明1：反证，假设不联通，则G至少有两个支G1=(V1,E1),剩下的记为G2=(V2,E2)设∣V1∣=n,则∣V2∣=p−n,所在分支最多能连的边的个数：deg(v1)≤n−1,deg(v2)≤p−n−1deg(v1)+deg(v2)≤p−2矛盾证明1：反证，假设不联通，则G至少有两个支G_1=(V_1,E_1),剩下的记为G_2=(V_2,E_2)\\ 设|V_1|=n,则|V_2|=p-n,\\ 所在分支最多能连的边的个数：deg(v_1) \leq n-1,deg(v_2) \leq p-n-1\\ deg(v_1)+deg(v_2) \leq p-2 \\ 矛盾证明1：反证，假设不联通，则G至少有两个支G1=(V1,E1),剩下的记为G2=(V2,E2)设∣V1∣=n,则∣V2∣=p−n,所在分支最多能连的边的个数：deg(v1)≤n−1,deg(v2)≤p−n−1deg(v1)+deg(v2)≤p−2矛盾
证明2：演绎：证明2：演绎：证明2：演绎：

如果上式成立，则∃w∈V,s.t.uw∈E,vw∈E如果上式成立，则 \exists w\in V,s.t. uw \in E,vw \in E如果上式成立，则∃w∈V,s.t.uw∈E,vw∈E
假设不存在w,设deg(u)=k，deg(v)≤p−2−k,则deg(u)+deg(v)≤p−2,矛盾假设不存在w,设deg(u)=k，deg(v)\leq p-2-k,则deg(u)+deg(v)\leq p-2,矛盾假设不存在w,设deg(u)=k，deg(v)≤p−2−k,则deg(u)+deg(v)≤p−2,矛盾
推论：如果∀v∈V,deg(v)≥⌈p2⌉，则图联通推论：如果\forall v \in V,deg (v) \geq\lceil \frac{p}{2} \rceil，则图联通推论：如果∀v∈V,deg(v)≥⌈2p⌉，则图联通
2.数据结构中的并查集也能判断图的连通性

判定图是否有环路

δ(G)
G=（V,E），deg(v)>0,G中每个顶点的度数为偶数，则G中有环G=（V,E），deg(v)>0,G中每个顶点的度数为偶数，则G中有环G=（V,E），deg(v)>0,G中每个顶点的度数为偶数，则G中有环
证明：最长路法，设最长路为v1,v2,……，vn，并且∃vi,s.t.v1,vi∈E(3≥i≤n)证明：最长路法，设最长路为v_1,v_2,……，v_n，并且\exists v_i,s.t. v_1,v_i\in E(3\geq i \leq n)证明：最长路法，设最长路为v1,v2,……，vn，并且∃vi,s.t.v1,vi∈E(3≥i≤n)
则v1,v2……，vi,v1为环则 v_1,v_2……，v_i,v_1为环则v1,v2……，vi,v1为环

正则图和完全图

正则

正则：regular，有规律的，有规则的。

正则图是指各顶点的度均相同的无向简单图

在图论中，正则图中每个顶点具有相同数量的邻点；即每个顶点具有相同的度。正则的有向图也必须满足更多的条件，即每个顶点的内外自由度都要彼此相等。具有k个自由度的顶点的正则图被称为k度的k-正则图。此外，奇数程度的正则图形将包含偶数个顶点。

G=(V,E),ifv∈V,deg(v)=r,则称G为r−正则图G=(V,E),if v\in V,deg(v)=r,则称G为r-正则图G=(V,E),ifv∈V,deg(v)=r,则称G为r−正则图

假设G是一个（p,q）图(即G是一个具有p个顶点q条边的图。),则(p−1)正则图称为完全图，记为Kp假设G是一个（p,q）图(即 G 是一个具有 p 个顶点 q 条边的图。 ),\\ 则(p-1)正则图称为完全图，记为K_p 假设G是一个（p,q）图(即G是一个具有p个顶点q条边的图。),则(p−1)正则图称为完全图，记为Kp

结婚问题中的双图，完全图则记为Km,n结婚问题中的双图，完全图则记为K_{m,n}结婚问题中的双图，完全图则记为Km,n

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正则图和完全图

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正则图是指各顶点的度均相同的无向简单图

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