有理函数积分方法以及待定系数法的无解问题

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第一类 ∫ 1 a x 2 + b x + c d x \int\frac{1}{ax^2+bx+c}{\mathrm{d}x} ∫ax2+bx+c1dx
第二类 ∫ d x + e a x 2 + b x + c d x \int\frac{dx+e}{ax^2+bx+c}{\mathrm{d}x} ∫ax2+bx+cdx+edx
待定系数法
- 待定系数法注意事项
- - 几个易错例子：

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第一类 ∫ 1 a x 2 + b x + c d x \int\frac{1}{ax^2+bx+c}{\mathrm{d}x} ∫ax2+bx+c1dx

① b 2 − 4 a c = 0 , 化成 a ( x − x 1 ) 2 后凑微分 ①b^2-4ac=0,化成a(x-x_1)^2后凑微分 ①b2−4ac=0,化成a(x−x1)2后凑微分
② b 2 − 4 a c > 0 , 使用待定系数法 ②b^2-4ac>0,使用待定系数法 ②b2−4ac>0,使用待定系数法
③ b 2 − 4 a c < 0 , 把分母配方 ③b^2-4ac<0,把分母配方 ③b2−4ac<0,把分母配方

第二类 ∫ d x + e a x 2 + b x + c d x \int\frac{dx+e}{ax^2+bx+c}{\mathrm{d}x} ∫ax2+bx+cdx+edx

① b 2 − 4 a c = 0 , 将分子凑成分母 ①b^2-4ac=0,将分子凑成分母 ①b2−4ac=0,将分子凑成分母
② b 2 − 4 a c > 0 , 使用待定系数法 ②b^2-4ac>0,使用待定系数法 ②b2−4ac>0,使用待定系数法
③ b 2 − 4 a c < 0 , 把分母配方 , 之后再凑 ③b^2-4ac<0,把分母配方,之后再凑 ③b2−4ac<0,把分母配方,之后再凑

注：③情况例题可以参考《同济大学高等数学第七版》214页例题二。

注意要区别两个积分：

∫ 2 − x 3 + 2 x − x 2 d x 和第二类第 ① 种 ∫ x + 2 ( 1 + x ) 2 d x \int\frac{2-x}{\sqrt{3+2x-x^2}}{\mathrm{d}x}和第二类第①种\int\frac{x+2}{(1+x)^2}{\mathrm{d}x} ∫3+2x−x2 2−xdx和第二类第①种∫(1+x)2x+2dx
∫ 2 − x 3 + 2 x − x 2 d x = ∫ ( 1 − x ) + 1 3 + 2 x − x 2 d x = 1 2 ∫ ( 2 − 2 x ) 3 + 2 x − x 2 d x + ∫ d x 3 + 2 x − x 2 d x = 1 2 ∫ d ( − x 2 + 2 x − 3 ) 3 + 2 x − x 2 d x + ∫ d ( x − 1 ) 4 − ( x − 1 ) 2 d x = 3 + 2 x − x 2 + arcsin ⁡ x − 1 2 + C \begin{aligned} &\int\frac{2-x}{\sqrt{3+2x-x^2}}{\mathrm{d}x}\\ &=\int\frac{(1-x)+1}{\sqrt{3+2x-x^2}}{\mathrm{d}x}\\ &=\frac{1}{2}\int\frac{(2-2x)}{\sqrt{3+2x-x^2}}{\mathrm{d}x}+\int\frac{{\mathrm{d}x}}{\sqrt{3+2x-x^2}}{\mathrm{d}x}\\ &=\frac{1}{2}\int\frac{{\mathrm{d}(-x^2+2x-3)}}{\sqrt{3+2x-x^2}}{\mathrm{d}x}+\int\frac{{\mathrm{d}(x-1)}}{\sqrt{4-(x-1)^2}}{\mathrm{d}x}\\ &=\sqrt{3+2x-x^2}+\arcsin \frac{x-1}{2}+C\\ \end{aligned} ∫3+2x−x2 2−xdx=∫3+2x−x2 (1−x)+1dx=21∫3+2x−x2 (2−2x)dx+∫3+2x−x2 dxdx=21∫3+2x−x2 d(−x2+2x−3)dx+∫4−(x−1)2 d(x−1)dx=3+2x−x2 +arcsin2x−1+C

∫ x + 2 ( 1 + x ) 2 d x = ∫ ( x + 1 ) + 1 ( 1 + x ) 2 d x = ∫ 1 ( 1 + x ) d x + ∫ 1 ( 1 + x ) 2 d x = ∫ 1 ( 1 + x ) d ( 1 + x ) + ∫ 1 ( 1 + x ) 2 d ( 1 + x ) = ln ⁡ ∣ 1 + x ∣ − 1 1 + x + C \begin{aligned} &\int\frac{x+2}{(1+x)^2}{\mathrm{d}x}\\ &=\int\frac{(x+1)+1}{(1+x)^2}{\mathrm{d}x}\\ &=\int\frac{1}{(1+x)}{\mathrm{d}x}+\int\frac{1}{(1+x)^2}{\mathrm{d}x}\\ &=\int\frac{1}{(1+x)}{\mathrm{d}(1+x)}+\int\frac{1}{(1+x)^2}{\mathrm{d}(1+x)}\\ &=\ln \left|1+x\right|-\frac{1}{1+x}+C\\ \end{aligned} ∫(1+x)2x+2dx=∫(1+x)2(x+1)+1dx=∫(1+x)1dx+∫(1+x)21dx=∫(1+x)1d(1+x)+∫(1+x)21d(1+x)=ln∣1+x∣−1+x1+C

待定系数法

待定系数法注意事项

首先要确保是真分式

待定系数法是不可以乱用的，有需要注意
分母里面如果有一元二次方程，其判别式需要小于零
详细视频讲解：https://www.bilibili.com/video/BV1mo4y1974v?spm_id_from=333.999.0.0

几个易错例子：

∫ d x x 2 ( 1 − x ) \int\frac{{\mathrm{d}x}}{x^2(1-x)} ∫x2(1−x)dx
正确待定系数法： 1 x 2 ( 1 − x ) = A ( x − 0 ) 2 + B x − 0 + C 1 − x \frac{1}{x^2(1-x)}=\frac{A}{(x-0)^2}+\frac{B}{x-0}+\frac{C}{1-x} x2(1−x)1=(x−0)2A+x−0B+1−xC
错误待定系数法： 1 x 2 ( 1 − x ) = 1 x ⋅ x ⋅ ( 1 − x ) = A x + B x + C 1 − x \frac{1}{x^2(1-x)}=\frac{1}{x\cdot x \cdot(1-x)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x}+\frac{C}{1-x} x2(1−x)1=x⋅x⋅(1−x)1=xA+xB+1−xC
错误原因：待定系数法只有两种，不要创造第三种，(另外也出现了 x x x的相同的项，相同项必须在一起)

∫ x ( 1 − x ) 3 d x \int\frac{x}{(1-x)^3}{\mathrm{d}x} ∫(1−x)3xdx
正确待定系数法：
x ( 1 − x ) 3 = A ( 1 − x ) 3 + B ( 1 − x ) 2 + C ( 1 − x ) \frac{x}{(1-x)^3}=\frac{A}{(1-x)^3}+\frac{B}{(1-x)^2}+\frac{C}{(1-x)} (1−x)3x=(1−x)3A+(1−x)2B+(1−x)C
或或或
x ( 1 − x ) 3 = x ( x − 1 ) ( − x 2 + 2 x − 1 ) = x ( x − 1 ) ( x − 1 ) ( 1 − x ) = − x ( x − 1 ) 3 = − x ( x − 1 ) 3 = A ( x − 1 ) 3 + B ( x − 1 ) 2 + C ( x − 1 ) \begin{aligned} \frac{x}{(1-x)^3} &=\frac{x}{(x-1)(-x^2+2x-1)}\\ &=\frac{x}{(x-1)(x-1)(1-x)}\\ &=-\frac{x}{(x-1)^3}\\ &=\frac{-x}{(x-1)^3}\\ &=\frac{A}{(x-1)^3}+\frac{B}{(x-1)^2}+\frac{C}{(x-1)}\\ \end{aligned} (1−x)3x=(x−1)(−x2+2x−1)x=(x−1)(x−1)(1−x)x=−(x−1)3x=(x−1)3−x=(x−1)3A+(x−1)2B+(x−1)C
错误待定系数法：
x ( 1 − x ) 3 = x ( x − 1 ) ( − x 2 + 2 x − 1 ) = x ( x − 1 ) 2 ( 1 − x ) = A ( x − 1 ) 2 + B x − 1 + C 1 − x \frac{x}{(1-x)^3}=\frac{x}{(x-1)(-x^2+2x-1)}=\frac{x}{(x-1)^2(1-x)}=\frac{A}{(x-1)^2}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{1-x} (1−x)3x=(x−1)(−x2+2x−1)x=(x−1)2(1−x)x=(x−1)2A+x−1B+1−xC
错误原因：分母不同的项中还保留有相同因子。

∫ d x ( 1 − x 2 ) ( 1 + x ) \int\frac{{\mathrm{d}x}}{(1-x^2)(1+x)} ∫(1−x2)(1+x)dx
正确待定系数法：

错误待定系数法：

下面是另外的一些补充内容，可看可不看。没什么用