排序算法-归并排序的实现与时间复杂度分析

归并排序

归并排序是分而治之的排序算法。

划分步骤很简单：将当前数组分成两半（如果N是偶数，则将其完全平等，或者如果N是奇数，则一边稍大于一个元素），然后递归地对这两半进行排序。

递归写法

归并排序递归写法的思想是，设定一个函数，函数实现的目的是让int[] arr在L ~ R位置上有序，处理过程是从L ~ R上找一个中间位置M，递归调用该函数，让int[] arr的L ~ M上有序，M+1 ~ R上有序，每一次不能往下递归了，便调用归并的方法将左右两边的数组合并成一个数组，到最后整个数组便有序了。

因此，归并排序使用递归方法实现的方法是：整体是递归，左边排好序+右边排好序+merge让整体有序。

伪代码理解这一过程：

将每个元素拆分成大小为1的部分递归地合并相邻的两个数组分区i = 左侧开始项指数 到 右侧最后项指数 的遍历（两端包括）如果左侧首值 <= 右侧首值拷贝左侧首项的值否则： 拷贝右侧部分首值将元素拷贝进原来的数组中

代码实现：

public class MergeSort {public static void main(String[] args) {int[] arr = {18, 15, 13, 17, 6, 20, 15, 9};System.out.println("排序前：" + Arrays.toString(arr));mergeSort(arr);System.out.println("排序后：" + Arrays.toString(arr));}public static void mergeSort(int[] arr) {if (arr == null || arr.length < 2) {return;}process(arr, 0, arr.length - 1);}public static void process(int[] arr, int L, int R) {if (L == R) {return;}int M = L + ((R - L) >> 1);System.out.println("递归调用 L--M--R:" + L + "--" + M + "--" + R);//左边数组递归process(arr, L, M);//右边数组递归process(arr, M + 1, R);merge(arr, L, M, R);}public static void merge(int[] arr, int L, int M, int R) {System.out.println("开始归并 arr[" + L + "~" + M + "]和arr[" + (M + 1) + "~" + R + "]两部分数组");//申请一个和arr长度一样的辅助数组int[] help = new int[R - L + 1];//比较两组数组，谁小先拷贝谁到辅助数组，拷贝之后移动数组指针//定义数组指针，LP表示左部分数组指针，RP表示右部分数组指针，i表示辅助数组的指针int LP = L;int RP = M + 1;int i = 0;//左右两边数组均不能越界while (LP <= M && RP <= R) {help[i++] = arr[LP] <= arr[RP] ? arr[LP++] : arr[RP++];}//任何一边的数组要越界了，就把该部分的数写到help数组while (LP <= M) {help[i++] = arr[LP++];}while (RP <= R) {help[i++] = arr[RP++];}//写回到原数组for (i = 0; i < help.length; i++) {arr[L + i] = help[i];}}
}

小技巧：

将一个int类型的数乘以2，可以使用位运算<<左移1位

int类型的数除以2，位运算>>右移1位

别问为什么，问就是位运算就是快！

运行结果：

排序前：[18, 15, 13, 17, 6, 20, 15, 9]
递归调用 L--M--R:0--3--7
递归调用 L--M--R:0--1--3
递归调用 L--M--R:0--0--1
开始归并 arr[0~0]和arr[1~1]两部分数组
递归调用 L--M--R:2--2--3
开始归并 arr[2~2]和arr[3~3]两部分数组
开始归并 arr[0~1]和arr[2~3]两部分数组
递归调用 L--M--R:4--5--7
递归调用 L--M--R:4--4--5
开始归并 arr[4~4]和arr[5~5]两部分数组
递归调用 L--M--R:6--6--7
开始归并 arr[6~6]和arr[7~7]两部分数组
开始归并 arr[4~5]和arr[6~7]两部分数组
开始归并 arr[0~3]和arr[4~7]两部分数组
排序后：[6, 9, 13, 15, 15, 17, 18, 20]

递归函数调用过程，我画了个简图以助理解：

拿代码中的数组分析，过程大概就是这样子滴：

非递归写法

任何递归写法都能转换成非递归写法。

直接上代码：

public static void mergeSort2(int[] arr) {if (arr == null || arr.length < 2) {return;}//数组长度int N = arr.length;//定义每部分参与比较数组的长度，初始长度为1int mergeSize = 1;//只要mergeSize小于Nwhile (mergeSize < N) {int L = 0;while (L < N) {int M = L + mergeSize - 1;if (M >= N) {break;}int R = Math.min(M + mergeSize, N - 1);merge(arr, L, M, R);L = R + 1;}// 为什么需要这个？主要是为了防止溢出，int的最大值是21亿多（2^31-1），// 假如此时mergeSize是20亿，运行下面mergeSize*2的时候就会溢出if (mergeSize > N / 2) {break;}mergeSize <<= 1;}
}

其中的merge方法，还是前面递归方式调用的merge：

public static void merge(int[] arr, int L, int M, int R) {System.out.println("开始归并 arr[" + L + "~" + M + "]和arr[" + (M + 1) + "~" + R + "]两部分数组");//申请一个和arr长度一样的辅助数组int[] help = new int[R - L + 1];//比较两组数组，谁小先拷贝谁到辅助数组，拷贝之后移动数组指针//定义数组指针，LP表示左部分数组指针，RP表示右部分数组指针，i表示辅助数组的指针int LP = L;int RP = M + 1;int i = 0;//左右两边数组均不能越界while (LP <= M && RP <= R) {help[i++] = arr[LP] <= arr[RP] ? arr[LP++] : arr[RP++];}//任何一边的数组要越界了，就把该部分的数写到help数组while (LP <= M) {help[i++] = arr[LP++];}while (RP <= R) {help[i++] = arr[RP++];}//写回到原数组for (i = 0; i < help.length; i++) {arr[L + i] = help[i];}
}

运行结果：

排序前：[18, 15, 13, 17, 6, 20, 15, 9]
开始归并 arr[0~0]和arr[1~1]两部分数组
开始归并 arr[2~2]和arr[3~3]两部分数组
开始归并 arr[4~4]和arr[5~5]两部分数组
开始归并 arr[6~6]和arr[7~7]两部分数组
开始归并 arr[0~1]和arr[2~3]两部分数组
开始归并 arr[4~5]和arr[6~7]两部分数组
开始归并 arr[0~3]和arr[4~7]两部分数组
排序后：[6, 9, 13, 15, 15, 17, 18, 20]

这里只是归并排序的非递归写法，思想也是分而治之！关键还是merge方法。

针对代码中的数组int[] arr={18, 15, 13, 17, 6, 20, 15, 9}，其排序过程动图演示：

归并排序的时间复杂度

Level 0：2 ^ 0 = 1次调用merge( ) 和 N / 2 ^ 1个元素，时间：O（2 ^ 0 x 2 x N / 2 ^ 1）= O（N）

Level 1：2 ^ 1 = 2次调用 merge( ) 与N / 2 ^ 2个元素，O（2 ^ 1 x 2 x N / 2 ^ 2）= O（N）

Level 2：2 ^ 2 = 4次调用merge( ) 与N / 2 ^ 3个元素，O（2 ^ 2 x 2 x N / 2 ^ 3）= O（N）…

Level（log N）：2 ^（log N-1）（或N / 2）次调用merge( ) ），其中N / 2 ^ log N（或1）个元素，O（N），
有 log(N) 个层，每层都执行O（N）次工作，因此总体时间复杂度为 O(NlogN)。

拓展：

递归，计算时间复杂度有一个Master公式：
形如

T(N) = a * T(N/b) + O(N^d)(其中的a、b、d都是常数)

的递归函数，可以直接通过Master公式来确定时间复杂度。

如果 log(b,a) < d，复杂度为O(N^d)

如果 log(b,a) > d，复杂度为O(N^log(b,a))

如果 log(b,a) == d，复杂度为O(N^d * logN)

我们的归并排序可以用下面的公式来计算：

T(N) = 2*T(N/2) + O(N^1)

根据master可知推导出时间复杂度为O(N×logN)

另外，merge过程需要辅助数组，所以额外空间复杂度为O(N)

归并排序的实质是把比较行为变成了有序信息并传递，比O(N^2)的排序快。