[python刷题模板] 珂朵莉树 ODT（20220928弃用，请看新文）

[python刷题模板] 珂朵莉树 ODT （基于SortedList 20220928弃用，请看新文）

一、算法&数据结构
- 1. 描述
- 2. 复杂度分析
- 3. 常见应用
- 4. 常用优化
二、模板代码
- 1. 区间赋值，区间询问最小值
- 2. 区间赋值，区间查询
- 3. 不存在区间赋值，只有区间加，区间查询
- 4. 不存在区间赋值，只有区间加，区间查询
- 5. 存在区间赋值，整体查询
- 6. 单点赋值，合并区间
三、其他
四、更多例题
五、参考链接

一、算法&数据结构

1. 描述

注意，本篇文章的珂朵莉树实现基于SortedList，assign操作常数较大(2000)，因此大数据会TLE。
我重新整理了基于跳表的珂朵莉，见新文[python刷题模板] 珂朵莉树 ODT （基于支持随机访问的跳表

- 在网络上搜了很久没怎么找到珂朵莉树的python实现，自己写一个。
- 由于python的有序列表SortedList不是红黑树，所以split要先算begin，再算end。下标代替迭代器，这里和C++实现相反。
- SortedList批量删除使用del tree[begin:end],切片，原理是会用tree[:begin] 连接tree[end:]更新原来的tree。

珂朵莉树是建立在数据随机的情况下的一个乱搞算法。
当操作中有大量区间赋值动作，尤其是大区间赋值，会把这个区间的值推平，并且将原本这里边的很多小区间合并。
如果数据随机，可以预见合并区间后，保留下来的区间不会很多。
那么查询区间如果不大，只需要处理几个区间即可。
底层用有序列表储存，c++set是红黑树，所以珂朵莉树也算树，
但python的sortedlist是list套list。。。可能名不副实了。
如果有心造数据卡珂朵莉树是可能实现的，数据不保证随机，大范围赋值少，查询多。
但这种的可以做特判，因为如果大范围赋值少，那数据范围应该小，没准可以暴力。

2. 复杂度分析

在随机数据下，珂朵莉树可达到O(nloglogn)
split，珂朵莉熟的核心操作，在pos位置切割区间，返回以pos为左端点的区间。O(lgn).
之后所有动作都要包含两个split
更新assign，O(log₂n)
查询query, O(lgn)+O©,c是区间内节点数,但c应该小所以速度很客观。
- 所有的query都是暴力操作。
- 找到这个区间所有节点，然后再算。
  具体复杂度分析见知乎-珂朵莉树的复杂度分析

3. 常见应用

注意，这类题通常正解是线段树，但珂朵莉在特定情况下吊打正解。
这个特定情况是指：操作中存在大量assign碾平操作。
如果操作中不存在assign，请尽量不要用珂朵莉。（但数据弱的话也没准）

区间赋值，区间询问最大最小值。
区间赋值，区间询问第K小。
区间赋值，区间询问求和
区间赋值，区间询问n次方和（一般会有mod）。
这些操作全部暴力处理，因为我们认为：
- 在随机数据下，大量区间被合并，询问的区间里不会有太多节点。

4. 常用优化

 实现时我做了数次优化，提升不大记一下。

这里要用SortedKeyList,因为只能比较左端点。
从元组变成结构体，这样就可以直接修改。而且在结构体里实现小于运算，则改用SortedList。
split时，本应删除原节点，加入两个节点。但实际上插入的左节点和原节点只差了一个右边界，因此可以直接修改。
split生成时调用节点的解包函数，好写还快一点。

二、模板代码

1. 区间赋值，区间询问最小值

例题: 715. Range 模块
这题当然可以线段树，套一下板就行。
珂朵莉树实测比线段树快3倍。
当然最佳方案是有序列表合并拆分线段。

class ODTNode:__slots__ = ['l','r','v']def __init__(self,l,r,v):self.l,self.r,self.v = l,r,vdef __lt__(self,other):return self.l<other.ldef jiebao(self):return self.l,self.r,self.v
class ODT:def __init__(self,l,r,v):from sortedcontainers import SortedListself.tree = SortedList([ODTNode(l,r,v)])def split(self,pos):""" 在pos位置切分，返回左边界l为pos的线段下标"""tree = self.treep = tree.bisect_left(ODTNode(pos,0,0))if p != len(tree) and tree[p].l == pos:return p p -= 1l,r,v = tree[p].jiebao()tree[p].r = pos-1# tree.pop(p)# tree.add(ODTNode(l,pos-1,v))tree.add(ODTNode(pos,r,v))return p+1def assign(self,l,r,v):"""把[l,r]区域全变成val"""tree = self.treebegin = self.split(l)end = self.split(r+1)del tree[begin:end]# for i in range(begin,end):#     tree.pop(begin)tree.add(ODTNode(l,r,v))# 以下操作全是暴力，寄希望于这里边元素不多。def add_interval(self,l,r,val):"""区间挨个加"""tree = self.treebegin = self.split(l)end = self.split(r+1)for i in range(begin,end):tree[i].v += valdef query_min(self,l,r):"""查找x,y区间的最小值"""        begin = self.split(l)end = self.split(r+1)return min(node.v for node in self.tree[begin:end])def query_kth(self,l,r,k):"""查找[x,y]区间第k小的数"""begin = self.split(l)end = self.split(r+1)vs = [(node.v,node.r-node.l+1) for node in self.tree[begin:end]]  # v和v的个数，排序for v,d in sorted(vs):  # 挨个往外丢，缩小kk -= d if k <= 0:return v def query_sum_of_pow(self,l,r,x):"""求区间x次方的和，一般还得mod，那就要手写快速幂"""s = 0begin = self.split(l)end = self.split(r+1)for node in self.tree[begin:end]:s += (node.v**x) * (node.r-node.l+1)return sclass RangeModule:def __init__(self):self.tree = ODT(1,10**9,0)def addRange(self, left: int, right: int) -> None:self.tree.assign(left,right-1,1)def queryRange(self, left: int, right: int) -> bool:return 1 == self.tree.query_min(left,right-1)def removeRange(self, left: int, right: int) -> None:self.tree.assign(left,right-1,0)

2. 区间赋值，区间查询

链接: 729. 我的日程安排表 I
book是给区间全赋值1，区间操作前检查是否这个区间有非0的值，sum或者max都可以。
线段树也可以，珂朵莉树快一点

class ODTNode:__slots__ = ['l','r','v']def __init__(self,l,r,v):self.l,self.r,self.v = l,r,vdef __lt__(self,other):return self.l<other.ldef jiebao(self):return self.l,self.r,self.v
class ODT:def __init__(self,l,r,v):from sortedcontainers import SortedListself.tree = SortedList([ODTNode(l,r,v)])def split(self,pos):""" 在pos位置切分，返回左边界l为pos的线段下标"""tree = self.treep = tree.bisect_left(ODTNode(pos,0,0))if p != len(tree) and tree[p].l == pos:return p p -= 1l,r,v = tree[p].jiebao()tree[p].r = pos-1# tree.pop(p)# tree.add(ODTNode(l,pos-1,v))tree.add(ODTNode(pos,r,v))return p+1def assign(self,l,r,v):"""把[l,r]区域全变成val"""tree = self.treebegin = self.split(l)end = self.split(r+1)del tree[begin:end]tree.add(ODTNode(l,r,v))# 以下操作全是暴力，寄希望于这里边元素不多。def query_max(self,l,r):"""查找x,y区间的最小值"""        begin = self.split(l)end = self.split(r+1)return max(node.v for node in self.tree[begin:end])class MyCalendar:def __init__(self):self.odt = ODT(0,10**9,0)def book(self, start: int, end: int) -> bool:if self.odt.query_max(start,end-1) == 1:return Falseself.odt.assign(start,end-1,1)return True

3. 不存在区间赋值，只有区间加，区间查询

链接: 731. 我的日程安排表 II

这题没有assign本不该用珂朵莉做，但这个数据比较弱，确实能过，而且吊打线段树。
由于是求区间内一个超过1的数，因此可以区间查询时，提前退出。

class ODTNode:__slots__ = ['l','r','v']def __init__(self,l,r,v):self.l,self.r,self.v = l,r,vdef __lt__(self,other):return self.l<other.ldef jiebao(self):return self.l,self.r,self.v
class ODT:def __init__(self,l,r,v):from sortedcontainers import SortedListself.tree = SortedList([ODTNode(l,r,v)])def split(self,pos):""" 在pos位置切分，返回左边界l为pos的线段下标"""tree = self.treep = tree.bisect_left(ODTNode(pos,0,0))if p != len(tree) and tree[p].l == pos:return p p -= 1l,r,v = tree[p].jiebao()tree[p].r = pos-1# tree.pop(p)# tree.add(ODTNode(l,pos-1,v))tree.add(ODTNode(pos,r,v))return p+1def assign(self,l,r,v):"""把[l,r]区域全变成val"""tree = self.treebegin = self.split(l)end = self.split(r+1)del tree[begin:end]tree.add(ODTNode(l,r,v))# 以下操作全是暴力，寄希望于这里边元素不多。def add_interval(self,l,r,val):"""区间挨个加"""tree = self.treebegin = self.split(l)end = self.split(r+1)for i in range(begin,end):tree[i].v += valdef query_max(self,l,r):"""查找x,y区间的最小值"""        begin = self.split(l)end = self.split(r+1)return max(node.v for node in self.tree[begin:end])def query_has_greater_than(self,l,r,val):"""查找x,y区间是否有大于val的数"""        begin = self.split(l)end = self.split(r+1)return any(node.v>val for node in self.tree[begin:end])class MyCalendarTwo:def __init__(self):self.odt = ODT(0,10**9,0)def book(self, start: int, end: int) -> bool:if self.odt.query_has_greater_than(start,end-1,1) :return Falseself.odt.add_interval(start,end-1,1)return True

4. 不存在区间赋值，只有区间加，区间查询

链接: 732. 我的日程安排表 III
同上题，没有assign，且每次区间询问都是整体询问，我本以为不行的，但是试了一下，数据更友好~
这里也可以优化，每次最大值更新都在插入后询问，因此最大值可以储存下来，每次和更新后的区间比较更新即可。

class ODTNode:__slots__ = ['l','r','v']def __init__(self,l,r,v):self.l,self.r,self.v = l,r,vdef __lt__(self,other):return self.l<other.ldef jiebao(self):return self.l,self.r,self.v
class ODT:def __init__(self,l,r,v):from sortedcontainers import SortedListself.tree = SortedList([ODTNode(l,r,v)])def split(self,pos):""" 在pos位置切分，返回左边界l为pos的线段下标"""tree = self.treep = tree.bisect_left(ODTNode(pos,0,0))if p != len(tree) and tree[p].l == pos:return p p -= 1l,r,v = tree[p].jiebao()tree[p].r = pos-1# tree.pop(p)# tree.add(ODTNode(l,pos-1,v))tree.add(ODTNode(pos,r,v))return p+1def assign(self,l,r,v):"""把[l,r]区域全变成val"""tree = self.treebegin = self.split(l)end = self.split(r+1)del tree[begin:end]tree.add(ODTNode(l,r,v))# 以下操作全是暴力，寄希望于这里边元素不多。def add_interval(self,l,r,val):"""区间挨个加"""tree = self.treebegin = self.split(l)end = self.split(r+1)m = 0for i in range(begin,end):tree[i].v += valm = max(m,tree[i].v)return mdef query_max(self,l,r):"""查找x,y区间的最大值"""        begin = self.split(l)end = self.split(r+1)return max(node.v for node in self.tree[begin:end])def query_all_max(self,):"""查找x,y区间的最大值"""        begin = self.split(0)end = self.split(10**9+1)return max(node.v for node in self.tree[begin:end])
class MyCalendarThree:def __init__(self):self.odt = ODT(0,10**9,0)self.m = 0def book(self, start: int, end: int) -> int:        self.m = max(self.m,self.odt.add_interval(start,end-1,1))return self.m# return self.odt.query_all_max()

5. 存在区间赋值，整体查询

链接: 699. 掉落的方块
优化维护最大值思路类似上题。
但是存在赋值，因此可以珂朵莉，实测效率和线段树差不多。

class ODTNode:__slots__ = ['l','r','v']def __init__(self,l,r,v):self.l,self.r,self.v = l,r,vdef __lt__(self,other):return self.l<other.ldef jiebao(self):return self.l,self.r,self.v
class ODT:def __init__(self,l,r,v):from sortedcontainers import SortedListself.tree = SortedList([ODTNode(l,r,v)])def split(self,pos):""" 在pos位置切分，返回左边界l为pos的线段下标"""tree = self.treep = tree.bisect_left(ODTNode(pos,0,0))if p != len(tree) and tree[p].l == pos:return p p -= 1l,r,v = tree[p].jiebao()tree[p].r = pos-1# tree.pop(p)# tree.add(ODTNode(l,pos-1,v))tree.add(ODTNode(pos,r,v))return p+1def assign(self,l,r,v):"""把[l,r]区域全变成val"""tree = self.treebegin = self.split(l)end = self.split(r+1)del tree[begin:end]tree.add(ODTNode(l,r,v))# 以下操作全是暴力，寄希望于这里边元素不多。def add_interval(self,l,r,val):"""区间挨个加"""tree = self.treebegin = self.split(l)end = self.split(r+1)for i in range(begin,end):tree[i].v += valdef query_max(self,l,r):"""查找x,y区间的最大值"""        begin = self.split(l)end = self.split(r+1)return max(node.v for node in self.tree[begin:end])def query_all_max(self,):"""查找x,y区间的最大值"""        begin = self.split(0)end = self.split(10**9+1)return max(node.v for node in self.tree[begin:end])
class Solution:def fallingSquares(self, positions: List[List[int]]) -> List[int]:odt = ODT(1,10**9,0) ans = []m = 0for l,d in positions:h = odt.query_max(l,l+d-1)odt.assign(l,l+d-1,h+d)m = max(m,h+d)ans.append(m)return ans

6. 单点赋值，合并区间

链接: 352. 将数据流变为多个不相交区间
实际上是线段合并。

class ODTNode:def __init__(self,l,r,v):self.l,self.r,self.v = l,r,vdef __lt__(self,other):return self.l<other.ldef jiebao(self):return self.l,self.r,self.v# def __str__(self):#     return str((self.l,self.r,self.v))# def __repr__(self):#     return str((self.l,self.r,self.v))
class ODT:def __init__(self,l,r,v):from sortedcontainers import SortedListself.tree = SortedList([ODTNode(l,r,v)])        def split(self,pos):""" 在pos位置切分，返回左边界l为pos的线段下标"""tree = self.treep = tree.bisect_left(ODTNode(pos,0,0))if p != len(tree) and tree[p].l == pos:return p p -= 1l,r,v = tree[p].jiebao()tree[p].r = pos-1# tree.pop(p)# tree.add(ODTNode(l,pos-1,v))tree.add(ODTNode(pos,r,v))return p+1def assign(self,l,r,v):"""把[l,r]区域全变成val"""tree = self.treebegin = self.split(l)end = self.split(r+1)del tree[begin:end]tree.add(ODTNode(l,r,v))# 以下操作全是暴力，寄希望于这里边元素不多。def query_all_intervals(self):tree = self.treelines = []l = r = -1for node in tree :if node.v == 0:if l != -1:lines.append([l,r])                    l = -1else:if l == -1:l = node.l r = node.r# for line in lines:#     self.assign(line[0],line[1],1)# print(self.tree)return linesclass SummaryRanges:def __init__(self):self.odt = ODT(0,10**4+1,0)def addNum(self, val: int) -> None:self.odt.assign(val,val,1)def getIntervals(self) -> List[List[int]]:return self.odt.query_all_intervals()

三、其他

待补充

四、更多例题

待补充

五、参考链接

链接: 知乎-算法学习笔记(15): 珂朵莉树

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4. 不存在区间赋值，只有区间加，区间查询

5. 存在区间赋值，整体查询

6. 单点赋值，合并区间

三、其他

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