软件学院天梯赛参赛队员第一次训练 L2-1 红豆生南国 (25 分)(完全二叉树，树的遍历，重建二叉树，DFS)

题目：

有诗云：

    相思 （王维  唐）红豆生南国， 春来发几枝。愿君多采撷， 此物最相思。

那么，我们来采红豆吧！

假设红豆树是这个样子的：

这种红豆树的特点是：

每个结点都有一个正整数编号，标在结点内部。结点的编号各不相同。
最上方一层结点是 “红豆”（图中红圈所示的5个结点），这一层被称之为红豆层。
树的根结点、左子结点、右子结点、左子树、右子树等的定义与“数据结构”中的“二叉树”相同，但它毕竟是“自然界中的树”，树根在最下方，如图中的结点5
图中这棵红豆树是“完全二叉红豆树”，类似“数据结构”中的“完全二叉树”。（“完全二叉树”的定义：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是完美二叉树。对于一个有N个结点的二叉树，若其结点对应于相同深度完美二叉树的层序遍历的前 N 个结点，这样的树就是完全二叉树）从图上看，就是：要么每一层（包括红豆层）的结点数达到最大值，要么只在红豆层的最右边缺少一些结点。

对于红豆树，我们定义两种遍历顺序：

正序遍历：先访问树根结点，再正序遍历其左子树，最后正序遍历其右子树
逆序遍历：先逆序遍历其右子树，再逆序遍历其左子树，最后访问树根结点

对于给定的一棵完全二叉红豆树以及一些要采撷的结点，计算每次采撷能采到的红豆数量。

注意：我们采的点，可能是红豆，也可能不是红豆。采撷一个结点的意思是，把这个结点及这个结点的子树的全部结点从树中采下来。

例如：若采结点7，这是红豆结点，我们将获得1颗红豆；若采结点11，这不是红豆结点（而是一个枝结点！），我们将获得红豆树的一枝，包含2个红豆结点（8和2）。

输入格式:

输入有四行。

第一行是一个不超过60的正整数N，表示完全二叉红豆树中的结点数量。

第二行是N个不超过1000的结点编号序列，以空格间隔，表示的是这棵树的逆序遍历序列。

第三行是一个不超过N的正整数K，表示进行K次采撷。

第四行是K个正整数，依次表示每次要采的结点编号。

输出格式:

输出包含K+1行，

前K行，对于输入的每个采撷的点，在一行输出相应获得的红豆数量。如果这个点已经被采掉了，则输出Zao Jiu Cai Diao Le!。如果这个点在原树中根本不存在，则输出Kan Qing Chu Le?。

最后一行，输出采撷结束之后，这棵红豆树的正序遍历序列，用空格分隔，最后一个结点之后没有空格。如果采撷结束之后树已空，则输出Kong Le!

输入样例1:

对于题目中给出的图，对应的输入是：

12
10 4 3 12 6 7 1 2 8 11 9 5
4
15 12 11 2

输出样例1:

Kan Qing Chu Le?
1
2
Zao Jiu Cai Diao Le!
5 9 1 7 6

输入样例2:

对于题目中给出的图，对应的输入是：

12
10 4 3 12 6 7 1 2 8 11 9 5
1
5

输出样例2:

5
Kong Le!

题意：

简单来说，就是给定一颗完全二叉树，最后一层的点是果子，然后有m次询问，给定某一个节点编号，需要把这个节点和它对应的子树都砍掉，并输出得到了多少个果子，如果该编号不存在或者已经砍掉了则特判输出即可。

思路：

首先明确我们要解决的问题

如何根据完全二叉树的"逆序遍历"(可以转化成后序遍历，左右根的顺序遍历)，重建这颗二叉树
如何找到并标记所有的果子
如何判定给定节点编号是否在树中
如何判定给定节点编号是否已经被砍掉
如何模拟摘果子的过程
如何前序遍历这棵树并输出

首先我们要搞懂，为什么仅根据一次遍历结果就能够重建二叉树，因为这是一颗完全二叉树，它的空节点位置是固定的，都集中在最后一层和倒数第二层，而普通的二叉树却做不到这一点。还有我们上次做的，通过“#”标识空节点，也能够做到一次遍历重建二叉树。一般来说，完全二叉树用一个数组存就行了，和堆的存储一样。然后递归建树即可，注意这里和后序遍历区别在，是先遍历右子树，再是左子树最后是根节点，重建代码如下：

void build(int u)
{if(u <= n)                   //下标不能越界{build(2 * u + 1);        //先遍历右子树build(2 * u);            //然后是左子树cin>>tree[u];            //tree数组用来存树mp[tree[u]] = u;         //mp用来标记某一节点是否在树中}
}

其次如何标记果子，果子都在最后一层，果子之上每一层都是满的，从上到小每一层满的个数依次是：1，2，4，8……，计算每一层上面所有的节点个数(包含本层)依次是：1，3，7，15……这样我们就可以发现规律，我们按照满二叉树的节点个数进行计算，如果从第一层到该层的节点个数小于满二叉树所应有的节点个数，那么就可以判断该层就是最后一层，注意特判一下原本就是满二叉树的情况，代码如下：

int bits[] = {0 , 1 , 3 , 7 , 15 , 31 , 63};        //节点个数不超过60，所以开到63即可int x = 0;
while(bits[x] < n)                                  //统计最后一层满足满二叉树节点个数的层数x++;                                            //x层是满足条件的下一层for(int i = bits[x - 1] + 1 ; i <= n ; i++)          //从x-1层到树的最后一个节点，都是果子，用bool数组进行标记isFruit[i] = true;

然后再说如何判断给定节点编号是否在树中，其实在重建树的时候就提到了，直接在建树的时候就开数组标记即可。

再说如何判断被砍掉，还记得我们重建的时候用tree数组去存树吗，由于每个节点编号都是正整数，那么我们在砍树的过程中，直接把要砍掉的节点tree的值置为零即可。

然后是重头戏，如何模拟砍树？首先明确砍树的过程，从一个节点出发，将自己和自己的子树全部砍掉，这里我们可以递归遍历去写，根据上面说的，砍树时，每走到一个点，就把这个节点对于的tree的值置为空。并且由于我们之前标记了果子，所以每走到一个果子节点，结果就加一，再递归地计算左子树的果子个数和右子树的果子个数即可，代码如下：

int pick(int u)
{int cnt = 0;                        //初始化果子个数if(u <= n && tree[u])               //下标没有越界并且该节点没被砍掉{if(isFruit[u])                  //如果当前节点是果子，则个数加一cnt++;    tree[u] = 0;                    //将该节点状态置为砍掉了cnt += pick(2 * u);             //递归计算左子树果子个数cnt += pick(2 * u + 1);            //递归计算左子树果子个数}return cnt;                         //返回本次砍树得到的果子个数
}

最后前序遍历输出就比较简单了，从根节点出发，先遍历左子树，再遍历右子树，最后是根节点，注意，这里要跳过被砍掉了的节点，代码如下：

void preTravel(int u)
{if(u <= n && tree[u])                                    //下标不能越界并且没有被砍掉{ans.push_back(tree[u]);                              //将当前节点加入结果数组preTravel(2 * u);                                    //递归遍历左子树preTravel(2 * u + 1);                                //递归遍历右子树}
}preTravel(1);                                               //从根节点出发开始前序遍历
for(int i = 0 ; i < ans.size() ; i++)cout<<ans[i]<<(i == ans.size() - 1 ? "\n" : " ");       //避免行末空格输出

代码：

//L2-1 红豆生南国 (25 分)
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 1010;int n , k , x;
int tree[N] , mp[N];
bool isFruit[N];
vector<int> ans;
int bits[] = {0 , 1 , 3 , 7 , 15 , 31 , 63};void build(int u)            //重建二叉树
{if(u <= n){build(2 * u + 1);build(2 * u);cin>>tree[u];mp[tree[u]] = u;}
}int pick(int u)               //摘果子
{int cnt = 0;if(u <= n && tree[u]){if(isFruit[u])cnt++;tree[u] = 0;cnt += pick(2 * u);cnt += pick(2 * u + 1);  }return cnt;
}void preTravel(int u)        //前序遍历
{if(u <= n && tree[u]){ans.push_back(tree[u]);preTravel(2 * u);preTravel(2 * u + 1);}
}int main()
{cin>>n;build(1);int x = 0;while(bits[x] < n)x++;for(int i = bits[x - 1] + 1 ; i <= n ; i++)    isFruit[i] = true;cin>>k;while(k--){cin>>x;if(!mp[x])                               //节点不在树中cout<<"Kan Qing Chu Le?"<<endl;else if(!tree[mp[x]])                    //该节点被砍掉了cout<<"Zao Jiu Cai Diao Le!"<<endl;else                                     //模拟砍树cout<<pick(mp[x])<<endl;}if(!tree[1])                                 //树根都被砍掉了cout<<"Kong Le!"<<endl;else{preTravel(1);for(int i = 0 ; i < ans.size() ; i++)cout<<ans[i]<<(i == ans.size() - 1 ? "\n" : " ");}return 0;
}