[QLU Regular Contest 003] G.Youmu with greedy money problem //dp+滚动数组

题目链接
题意： 给一个初始纯度值 m m m，一共度过 n n n天，给出序列 a [ i ] a[i] a[i]和 b [ i ] b[i] b[i]，第 i i i天可以执行下列操作方案之一：

不操作；
用 a [ i ] a[i] a[i]纯度值换取 b [ i ] b[i] b[i]金钱收益；
用 a [ i ] a[i] a[i]纯度值换取 2 ∗ b [ i ] 2*b[i] 2∗b[i]金钱收益，但是第 i + 1 i+1 i+1天的金钱收益 b [ i + 1 ] b[i+1] b[i+1]将降为 ⌊ b [ i + 1 ] 2 ⌋ \lfloor\frac{b[i+1]}{2}\rfloor ⌊2b[i+1]⌋，而且第 i + 1 i+1 i+1天只能选择操作 1 1 1和操作 2 2 2；
用 a [ i ] a[i] a[i]纯度值换取 3 ∗ b [ i ] 3*b[i] 3∗b[i]金钱收益，但是第 i + 1 i+1 i+1天的金钱收益 b [ i + 1 ] b[i+1] b[i+1]将降为 0 0 0，第 i + 2 i+2 i+2天的金钱收益 b [ i + 2 ] b[i+2] b[i+2]将降为 ⌊ b [ i + 2 ] 3 ⌋ \lfloor\frac{b[i+2]}{3}\rfloor ⌊3b[i+2]⌋，而且第 i + 2 i+2 i+2天只能选择操作 1 1 1和操作 2 2 2；

求一种方案使得获得的总金币收益最大。

数据范围： 1 ≤ n ≤ 10000 1\leq n\leq 10000 1≤n≤10000， 1 ≤ m ≤ 10000 1\leq m\leq 10000 1≤m≤10000， 1 ≤ a [ i ] ≤ 10000 1≤a[i]≤10000 1≤a[i]≤10000， 0 ≤ b [ i ] ≤ 1 0 9 0≤b[i]≤10^9 0≤b[i]≤109

思路：
因为 n n n和 m m m是 1 e 4 1e4 1e4，考虑用 O ( n m ) O(nm) O(nm)的dp来做，
设 d p [ i ] [ j ] dp[i][j] dp[i][j]是到第 i i i天，已消耗纯度值为 j j j的最大收益，
可以根据上面四种操作方案，可以对应写出转移方程：
1. d p 1.\ \ dp 1.  dp [ i ] [i] [i] [ j ] = d p [j]=dp [j]=dp [ i − 1 ] [i-1] [i−1] [ j ] [j] [j]
2. d p 2.\ \ dp 2.  dp [ i ] [i] [i] [ j ] = d p [j]=dp [j]=dp [ i − 1 ] [i-1] [i−1] [ j − a [ i ] ] + b [ i ] [j-a[i]]+b[i] [j−a[i]]+b[i]
3. j ≥ 1 3.\ \ j\geq 1 3.  j≥1时， d p dp dp [ i ] [i] [i] [ j ] = m a x ( d p [j]=max(dp [j]=max(dp [ i − 2 ] [i-2] [i−2] [ j − a [ i − 1 ] ] + 2 ∗ b [ i − 1 ] , d p [j-a[i-1]]+2*b[i-1],dp [j−a[i−1]]+2∗b[i−1],dp [ i − 2 ] [i-2] [i−2] [ j − a [ i − 1 ] − a [ i ] ] + 2 ∗ b [ i − 1 ] + b [ i ] / 2 ) [j-a[i-1]-a[i]]+2*b[i-1]+b[i]/2) [j−a[i−1]−a[i]]+2∗b[i−1]+b[i]/2)
4. j ≥ 2 4.\ \ j\geq 2 4.  j≥2时， d p dp dp [ i ] [i] [i] [ j ] = m a x ( d p [j]=max(dp [j]=max(dp [ i − 3 ] [i-3] [i−3] [ j − a [ i − 2 ] ] + 3 ∗ b [ i − 2 ] , d p [j-a[i-2]]+3*b[i-2],dp [j−a[i−2]]+3∗b[i−2],dp [ i − 3 ] [i-3] [i−3] [ j − a [ i − 2 ] − a [ i ] ] + 3 ∗ b [ i − 2 ] + b [ i ] / 3 ) [j-a[i-2]-a[i]]+3*b[i-2]+b[i]/3) [j−a[i−2]−a[i]]+3∗b[i−2]+b[i]/3)
然后让 d p [ i ] [ j ] dp[i][j] dp[i][j]从上面的4个转移方程中取 m a x max max。
但是 n ∗ m = 1 0 8 n*m=10^8 n∗m=108，所以开 1 e 8 1e8 1e8大小的 l o n g l o n g long\ long long long会 M L E MLE MLE，
从上面的转移方程可以看到， d p [ i ] dp[i] dp[i]的转移只用到了 d p [ i − 1 ] 、 d p [ i − 2 ] 、 d p [ i − 3 ] dp[i-1]、dp[i-2]、dp[i-3] dp[i−1]、dp[i−2]、dp[i−3]，所以可以用滚动数组，对 i i i这一维滚动，周期是 4 4 4。这样的时间复杂度是 O ( n ∗ m ) O(n*m) O(n∗m)，空间复杂度是 O ( m ) O(m) O(m)，这样就能过了。

//AC code
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=1e4+7,M=4;
#define I(t) ((t+M)%M)
int n,m,a[N];
LL b[N],dp[M][N],ans;
int main(){cin>>n>>m;for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&b[i]);for(int i=1;i<=n+2;i++){for(int j=1;j<=m;j++){dp[I(i)][j]=dp[I(i-1)][j];//1if(j-a[i]>=0)dp[I(i)][j]=max(dp[I(i)][j],dp[I(i-1)][j-a[i]]+b[i]);//2if(i>1){if(j-a[i-1]>=0)dp[I(i)][j]=max(dp[I(i)][j],dp[I(i-2)][j-a[i-1]]+2*b[i-1]);//3if(j-a[i-1]-a[i]>=0)dp[I(i)][j]=max(dp[I(i)][j],dp[I(i-2)][j-a[i-1]-a[i]]+2*b[i-1]+b[i]/2);//3}if(i>2){if(j-a[i-2]>=0)dp[I(i)][j]=max(dp[I(i)][j],dp[I(i-3)][j-a[i-2]]+3*b[i-2]);//4if(j-a[i-2]-a[i]>=0)dp[I(i)][j]=max(dp[I(i)][j],dp[I(i-3)][j-a[i-2]-a[i]]+3*b[i-2]+b[i]/3);//4}ans=max(ans,dp[I(i)][j]);}}cout<<ans;
}

减小常数的方法： 使用了滚动数组，要进行 1 e 8 1e8 1e8次取模会很慢，所以可以预处理模数；可以根据转移方程的条件，例如 j − a [ i ] > = 0 j-a[i]>=0 j−a[i]>=0，删减无意义的循环。

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