求闭包

求属性集 $X$ （ $X\subseteq U$ ）关于 $U$ 上的函数依赖集 $F$ 的闭包 $X_{F^{+}}$ 。

1、令 $X^{\left ( 0 \right )}=X$ ，i=0。

2、对于F中所有左边为 $X^{\left ( i \right )}$ 或其子集的函数依赖，把其右边的属性加入 $X^{\left ( i \right )}$ ，得到 $X^{\left ( i+1 \right )}$ 。

3、判断 $X^{\left ( i+1 \right )}$ 是否等于U，若相等，则 $X_{F^{+}}=U$ 。判断 $X^{\left ( i+1 \right )}$ 是否等于 $X^{\left ( i \right )}$ ，若相等，则 $X^{\left ( i+1 \right )}$ 。否则继续执行第二步，i++。

例：有关系 $R<U, F>$ ， $U={A,B,C,D,E}$ ， $F=\left \{ AB\rightarrow C, A\rightarrow D, D\rightarrow E \right \}$ ，求 $\left (AB \right )_{F^{+}}$ 。

令 $AB^{\left ( 0 \right )}=AB$
由 $AB\rightarrow C, A\rightarrow D$ 得， $AB^{\left ( 1 \right )}=ABCD$
由 $D\rightarrow E \right$ 得， $AB^{\left ( 2 \right )}=ABCDE=U$
故 $\left (AB \right )_{F^{+}}=U$

求候选码

1、把函数依赖集F中的属性分为L类、R类、LR类和N类。

L类：只在函数依赖左边出现的属性

R类：只在函数依赖右边出现的属性

LR类：在函数依赖左边和右边都出现的属性

N类：未在函数依赖中出现的属性

2、对于各类，有如下性质：

若X是L类，则X必为关系R的任一候选码
若X是L类，且 $X_{F^{+}}=U$ ，则X为唯一候选码
若X是R类，则X不在任何候选码中
若X是N类，则X必包含在任一候选码中

3、对属于L类的属性，不断的加入LR的属性，形成属性组W，求 $W_{F^{+}}$ ，若 $W_{F^{+}}=U$ ，则W为候选码。求出所有的Wi。

例：有关系 $R<U, F>$ ， $U={A,B,C,D,E}$ ， $F=\left \{ AB\rightarrow C, A\rightarrow D, D\rightarrow E \right \}$

L类：A、B， R类：C、E， LR类：D， N类：无

则候选码中一定有AB，有 $\left (AB \right )_{F^{+}}=U$ ，由性质2得，（A, B）为唯一候选码。

分解为2NF

若关系 $R<U, F>$ 中，主键为W，有 $X\subset W$ 且 $X\rightarrow Z$ ，则可把关系分解为 $R_{1}<X,Z>$ ， $R_{2}<U-Z>$ 。

判断R1，R2是否均符合2NF；若不符合，则继续按上述方法分解，直到符合为止。

例：有关系 $R<U, F>$ ， $U={A,B,C,D,E}$ ， $F=\left \{ AB\rightarrow C, A\rightarrow D, D\rightarrow E \right \}$

已知候选码为（A, B），有 $AB\rightarrow DE,A\rightarrow DE$ ，故R不符合2NF，分解为 $R_{1}<A,D,E>$ ， $R_{2}<A,B,C>$ 。

R1，R2均符合2NF。

求最小依赖集

1、去掉F中所有函数依赖右边的多属性。

例： $A\rightarrow BC\Rightarrow A\rightarrow B,A\rightarrow C$

2、去掉F中所有函数依赖左边的多属性。

例：对于 $AB\rightarrow C$ ，若 $A_{F^{+}}\supset C$ ，则 $A\rightarrow C$

3、去掉冗余的函数依赖。

例：对于 $X\rightarrow W$ ，若去掉该条函数依赖后，对于F中剩下的函数依赖，可以得到 $X_{F^{+}}\supset W$ ，则该条函数依赖可去除

分解为3NF（保持函数依赖）

1、求F的最小依赖集，仍记为F。

2、对于F中为出现的属性，把这些属性构成一个关系模式R0，同时把这些属性从U中除去，剩余的属性仍记为U。

3、若有 $X\rightarrow A\in F$ ，且XA=U，则算法终止，否则执行第4步。

4、对F中的所有函数依赖，按具有相同左部的原则分为k组。每一组中出现的所有属性组成的集合为 $U_{i}$ ，若 $U_{i}\subseteq U_{j}\left ( i\neq j \right )$ 则去掉 $U_{i}$ 。剩余的所有 $U_{i}$ 各组成一个关系模式。

例：有关系 $R_{1}<A,D,E>$ ， $R_{2}<A,B,C>$ ， $U={A,B,C,D,E}$ ， $F=\left \{ AB\rightarrow C, A\rightarrow D, D\rightarrow E \right \}$

1、求F的最小依赖集

右边无多属性，跳过
左边 $AB\rightarrow C$ 为多属性，求得 $A_{F^{+}}=ADE\nsupseteq C,B_{F^{+}}=B\nsupseteq C$ ，故不可去除
去掉 $AB\rightarrow C$ ，有 $\left ( AB \right )_{F^{+}}=ABD\nsupseteq C$ ；去掉 $A\rightarrow D$ ，有 $\left ( A \right )_{F^{+}}=A\nsupseteq D$ ；去掉 $D\rightarrow E$ ，有 $\left ( D \right )_{F^{+}}=D\nsupseteq E$ ，故不可去除

因此，F最小依赖集为 $F=\left \{ AB\rightarrow C, A\rightarrow D, D\rightarrow E \right \}$ 。

2、 F中所有属性均有出现，故跳过该步。

3、不满足算法终止条件，跳过该步。

4、按相同左部可分为（A, B, C），（A, D），（D, E）。他们之间彼此不存在包含关系，因此该关系模式可分解为 $R_{1}<A,B,C>$ ， $R_{2}<A,D>$ ， $R_{3}<D,E>$ 。

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